deuxieme partie. — chapitre cinquième

affecté de i', pris absolument, c’est-à-dire abstraction faite du signe,

. devienne plus grand que l'autre terme affecté de /’’, et que, par conséquent, la somme des deux termes soit nécessairement positive ou

négative, selon que le terme — , f ,,r .r le sera. D’où il est aisé de * a. 3. 4

^conclure, à cause que /* est toujours une quantité positive, qu’il faudra, pour le maxùnum, que l’on ait f'.r < o, et pour le minimum, F'.r > o; et ainsi de suite.

26. Donc, en général, si y est une fonction quelconque de .r, on aura d’abord, pour le maximum ou le minimum, la condition y’ = o, laquelle donnera, la valeur de .r; ensuite o ou o, ce qui s’ac- <|9rde avec ce que nous avons trpuvé ci-dessus (h'* 2i). Mais nous venons de trouver, de plus, que si y" — o, il faudra que J’.ou ait en même témps*^" , = o, ensuite y* r < o pour le maximum, et rj r > o pour le minimum; et ainsi de suite, lin général, si une fonction dérivée d'un ordre quelconque pair disparait,' il faudra que la fonction de f ordre impair suivant disparaisse aussi, et que la suivante de l’ordre pair soit négative pour le maximum, et positive pour le minimum.

Si la fonction y n’est donnée que par une équation F (.r, v) =*= o,il n’y aura qu’à prendre l'équation prftne

et faire y' = o, ce qui la réduira à celle-ci,

laquelle, combinée avec F (.r, y) = o, servira à déterminer les valeurs de x et y répondant au maximum ou au minimum. Ensuite on prendra l’équation seconde, et faisant de même r' = o, on aura la valeur de v", daas laquelle on, substituera* les valeurs trouvées de .r et r, et l’on pourra juger, par cette valeur, du maximum ou du minimum; et ainsi de suite.

Si la fonction v" ou f",r devenait infinie, c’est-à-dire si —, = o,

ce serait une marque que le développement de f (x -+- i) contiendrait, 3* M. a8

pour la valeur trouvée de x, un terme de la forme A i"‘ , ni étant entre i et a (n°30, première partie); et, en considérant la couche de l'érjua- , tion v = f.r, on pourrait connaître, par la forme de son cours dans le point donné, si la fonction y est un maximum ou un minimum tn u 24). On pourrait même donner pour cela des règles générales, mais nui nous écarteraient trop de notre objet. * » ■« «. j

Nous ne nous arrêterons pas à donner des exemples des réglés précédentes pour la détermination des maxintn et niimina; comme elles s’accordent en tout avec celles que l’on connaît d'après le calcul différentiel, on pourra en faire les mêmes applications : il n’y aura qu'à changei; les symboles

' t» m ^ * dy d * * * d%’\ »,

'• J , .Y -, y , etc., en -fc, ^yète.