CHAPITRE SIXIÈME

De la mesure des aires, et de la langueur des ares dans les courbes planes. De lu mesure des solidités et de celle des surfaces des conoîdes. Principe, général de la solution analytique de ces questions.

27. .le viens maintenant à la détermination des aires des courbes, qu'on appelle communément quadrature des courbes. Considérons, en général, la courbe représentée par l’équation y = fx, y étant l'ordonnée rectangulaire correspondante à l’abscisse .r dont elle est une fonction donnée. L'espace terminé par cette courbe, par Taxe des abscisses, et par une' ordonnée quelconque y, sera donc aussi déterminé par une fonction de la même abscisse .r, que nous désignerons par F.r. Supposons que x devienne x -+- cette fonction deviendra F (,r 4- i), et il est clair «pie F (,r+ i) - — F.r sera alors la portion de l’espacé correspondante à la partie i de i’axe, et terminée par les deux ordonnées fr et f(.r -)- i) répondantes aux abscisses r et r-f- i. Or, quelle que soit la courbe proposée, il est aisé de se convaincre, mèiiie sans figure, que si les ordonnées vont en augmentant ou en diminuant, depuis f.r jusqu’à f (r 4- i), l’espace dont il s’agit sera, dans le premier ras, plus grand que l’espace rectangulaire iïjc, et moindre que f espace rectangulaire iî(x 4- i) f et, dans Je second cas, plus grand que ce dernier, et moindre que le premier. Donc il sera toujours nécessairement renfermé entre ces limites rfx et d (.r -+- <’), lesquelles seront, par conséquent, les limites de la quantité F (x -4- i) — F.r qiu doit représenter ce même espaee. . . ..

Développons les fonctions f (x -4- 7) et F (x 4- i) suivant notre formule (n° 40, première partie), et •arrêtons-nous au premier terme

pour la première, et aux deux premiers pour la seconde, on aura

f (a 1 -i— ij — f.r + if (j. 1 — t-.y ) et H . v

F (a; /) = F.c -+- iF'at -f ^ F-(x -+-.j),

ou y est une quantité indéterminée qui peut n’ètre pas la même pour

les deux fonctions, mais qui doit toujours être renfermée entfe les limites à et i. 11 faudra donc que la fonction .Tx soit telle, que la

quantité /F .r H F*(.r /) soit renfermée entre les limites / f.r et

/f i i 2 ï'(.r -t- j)f quelle que soit la valeur de i, et, par conséquent, en prenant / aussi petit que l’on voudra. Or, l’intervalle entre les deux limites étant / 3 f'(x -+- y ), la différence de la quantité dont il s'agit et de l une des limites, savoir, ’

devra être moindre que / 5 f'(.r -+■ y ), abstraction faite des signes de ces quantités. Mais il est aisé de prouver que cette condition ne peut avoir lieu pour une valeur de i aqssi petite que l’on voudra, à moins que le terme affecté de / ne disparaisse; car, autrement, l’on pourra toujours preudre i tel qüe la première quantité soit plus grande que

la seconde, puisqu’il suffira que i soit plus petit que ^r+7) ‘

On aura donc nécessairement

et cette condition suffira pour la détermination de la fonction F.r, puisque l’on voit qu’elle ne sera autre chose que la fonction primitive de f!r.

Donc, en général, la fonction prime de la fonction qui exprime faire d ilue courbé par l’abscisse est la fonction qui représente l’ordonnée de cette courbe; «t réciproquement, la fonction ''qui exprime faire ne peut être que la fonction primitive de celle qui exprime l'ordonnée. Ainsi, réquatkm d’une courbe étant donnée, pour avoirl’expression «le faire, c'est-à-dire la quadrature de la courbe, il n'y aura qu’à chercher