DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE' SIXIÈME. . U'AL

la (onction primitive de celle qui représente l'ordonnée, et Ton pourra ajouter à cette fonction primitive une constante arbitraire (n° 49. première partie), que l’on déterminera par la condition que l'expression de l’aire. devienne nulle au point oii Von voudra la faire commencer.

Nous avons supposé, dans l’analyse précédente, que les ordonnées allaient en augmentant ou en diminuant depuis fa - jusqu’à f {.n x- /'); cette condition n’aurait pas lieu s’il y avait entre ces deux ordonnées un maximum où un minimum; mais, comme on peut prendre L'intervalle i avissi petit que l’on veut, il est clair que l’on pourra toujours (aire tomber la seconde ordonnée f (x -t~ i) en rleçà du maximum ou. du minimum; et que,' par conséquent, la conclusion que nous en avons tirée demeurera toujours la même. ■ , .

Si la fonction f,r exprimait l’aire dè la section d’ùn solide, laite perpendiculairement à l’abscisse ,r,,'on prouverait de la même manière que la solidité serait exprimée par la fonction primitive de fu\ (1 h|\ désignant par F.r Ja solidité, la différence F (x -l- i) — F.r exprimerait la portion du solide comprise entre les deux sections f(x-t- i) et f.r, et cette portion serait nécessairement intermédiaire entre les fleu\ solides prismatiques ifx et' if Çr -+- *), en prenant quantité / auslsi petite que Von voudrait ; d’oii l’on conclurait, comme ci-dessus,"

Ainsi, en faisant tourner une courbe autour de l’axe des x, on-n ni) corioide dont la section perpendiculair<'~ à l’axe et répondant à

l'abscisse x est un cercle du rayon y, et dont l aire est — , où -r est la eirconlérence du cercle dont le rayon égale ) . Qr, par 1$ nature rie la courbe, ou a y = f.r ; donc l’aire de la section sera \7i (fxfi-, et la solidité F.r du conolde sera donnée pac la fonction prime , “

28. Le problème de la quadrature des courbes est, comme l'on voit, le problème le plus simple de l’analyse inverse des fonctions, puisqu'il nè consiste qu’à trouver la fonction primitive d’une fonction donnée. Nous avons indiqué, dans la première partie (cbap. VIII), les moyens par lesquels ou peut faciliter cette. recherche; nous ajouterons ici une observation essentielle.

a JL* . THKOB1E DES FONCTIONS.

Comme il est souvent avantageux de substituer d'autres variables à la place de celle qui entre dans la fonction, pour simplifier ou décomposer cette fonction en d'autres plus simples, 'il ne faudra pas oublier alors de multiplier la fonction dont il s'agit par la fonction prime de sa variable. En effet, nommant u l’aire de la courbe dont

y est l’ordonnée, et regardant y et u comme fonctions de.,)', nolis venons de voir que l'on a u' —y ; mais si l’on suppose x fonction d’une autre variable, et que l’on désigne par x’ et u ’ les fonctions primes de x et « prises relativement à cette nouvelle varia -

ble, il faudra substituer—, à la place de u (n° ,’>0, première partie), ce

qui dônnera u' = yx'; et ainsi des autres formules semblables.

Au reste, comme, suivant le calcul différentiel, 11 est équivalent à 'j, l’cquation u' = y donne du.— yd. e, et, intégrant, u «== fydr,

formule cônnue pour la quadrature des courbes.

‘29. Après le problème de la quadrature des courbes, se présente naturellement celui de leur rectification, c’est-à-dire de la détermination de la longueur même de la courbe.

Nous partirons, pour la solution de ce problème, du principe d'Archimède, adopté par tous les géomètres anciens et modernes, suivant lequel, deux lignes courbes, ou composées de droites, ayant leurs concavités tournées du meme côté et les mêmes extrémités, celle qui renferme l’autre est la plus longue. D’où il suit qu'un arc de courbe tout concave du même côté est plus grand que sa corde, et en même tepips moindre que la somme des deux tangentes menées aux deux extrémités de l’arc, et comprises entre ces extrémités et leur point d intersection. De là on peut tirer cette autre conséquence, que la longueur du même arc se trouvera comprise entre celles des deux tangentes menées à ses deux extrémités, et terminées aux deux ordonnées qui répondent à ses extrémités, prolongées, s’il le faut, au delà de la courbe.

En effet, >ayant mené la éorde qui joindra les deux extrémités de l’arc, il est aisé de voit que l’une des deux tangentes rencoutrera les ordonnées parallèles sous un angle plus aigu que la corde, et que