DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE SIXIÈME. 2a

l'autre les rencontrera sous un angle moins aigu, et que, par conséquent, la corde sera moindre que la première de ces tangentes et plus longue que la seconde; donc celle-ci sera, à plus lorte raison, moindre què l’arc de la courbe. De plus, si l’on considère les deux triangles opposés au sommet, et formés par l'intersection des deux tangentes, il est visible que les deux parties de la première tangente seront ‘respectivement plus longues que celles de la seconde, parce que les côtés formés par ces parties-là se trouvent, opposés à des angles plus grands que les côtés formés par celles-ci. Donc la première tangente entière sera plus longue que la somme des deux portions de . tangentes comprises entre leur point d’intersection et les extrémités de l’arc. Donc elle sera aussi plus longue que l’arc {*). •*

Cela posé, f» étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse .c, f r x sera (n°,7) la tangente de l'angle sous lequel la tangente de la courbe à' l’extrémité de cette ordonnée est inclinée à l'axe des abscisses ; par conséquent, it'x sera la partie de l’ordonnée f (.f -4- i) prolongée s'il est nécessaire, comprise entre Ja tangente et une parallèle à l’axe, menée par l’extrémité de l’ordonnée f^r; donc y/f’-h (i ï'xf = 1 -(- ( f', c) ’

sera la partie de cette tangente comprise entre les deux ordonnées, éloignées l’une de l’autre de l’intervalle i. De la même manière, on aura i '{x -+- i) pour la tangente de l’angle soya lequel la tangente de la courbe a l’extrémité de l’ordonnée f (a?— |— *) est inclinée à l’axe, et l’on trouvera i \/ 1 -+- [ f'(x -4- /)| J pour la partie de cette tangente comprise entre les mêmes ordonnées fx et f (.r -4- i).

Soit, pour plus de simplicité,

(*) Cette conclusion, en général, n’est pas admissible; il sufGt pour sVn convaincre de remarquer que si la corde qui joint les extrémités de l’arc est parallèle à Taxe des abscisses, elle sera évidemment plus petite que chacune des deux tangentes en question. Mais elle devient parfaitement exacte, et cela suffit pour le but que l’on se propose ici , si l*unc des extrémités de l’arc étant fixe, l’autre extrémité varie et peut se rapprocher de la première autant qu’on le voudra ; dans ce cas , la longueur de la corde cl celle de l’arc finiront par rester constamment comprises entre les longueurs des deux tangentes. - \J.-A. Serrrt»)

wx\

•on ;mra if.r et if (x -+- 1 ) pour les deux tangentes menées aux deux extrémités de l'arc delà courbe compris entre les ordonnées fit et f(.r-h i), et terminées à ces mêmes ordonnées; donc la longueur de cet arc devra être renfermée entre les deux quantités ifx et i<p (x -f- i), en donnant à i une valeur aussi petite que l’on voudra. Donc, si <I>.r est la fonction de ,r qui exprime l’arc de la courbe, il faudra que la quantité •t> (x -+- i ) — ‘lu , expression île l’arc compris entre les ordonnées f.> et f(.r ~t- i), soit comprise entre ces deux-ci, ifx et if(x -4- i), quelque petit que soit i ; d’où, par un raisonnement- semblable à celui du /. 11 " 27, on conclura fx. Donc, pour avoir la longueur indéfinie

de la courbe, il faudra chercher la fonction primitive de la fonction f.r. où y' 1 - 4 - (f'r| J ; et comme on pept ajouter une constante arbitraire à la fonction primitive, il faudra déterminer. cette constante de manière que l’expression de l’arc s’évanouisse an point où l’on voudra le foire commencer.

Ddnç, si l’on nojinrte s l’arc de la courbe dont les coordonnées sont x et i , oji aura, en regardant y et s comme fonctions de x, a cause de fx =" r, Px — y', l’équation ’ ■ • '

Et si x etj étaient donnéesen Sanctions d’une autre variable, comme /, alors, en désignant par x', y', s ' les fonctions 'primes relativement à

cette variable,- il faudrait substituer p et à la place de y' et s 1 (n° 28), ce qui donnerait cette équation * -

entre les coordonnées et l’are. * ’

Suivant le calcul différentiel, les fonctions dérivées’ a' et y’ seraient

exprimées par ~ et et l’équation s' y- y' 3 deviendrait

• i * l’i/ra? ^i^ 4' rf/t’'' .. 7 . ■ . -

formule connue des rectifications.