DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE SIXIÈME. 'J. '2 ~J

30. Si l'on imagine que la courbe proposée tournant autour de l'axe des abscisses engendre un conoïde, il est visible que les deux ordonnées fx et f(.r -f- <) décriront en même temps deux cercles dont ces coordonnées seront les rayons ; que l’arc de la courbe compris entre ces deux Coordonnées décrira une zone conoïdique, et que Tes deux tangentes menées aux deux extrémités de cet arc décriront des zones

coniques.

■Mais quoique l une de ces deux tangentes soit toujours plus grande, et l'autre plus petite que la longueur de l’arc, comme nous venons de Te démontrer jtjfëanmoins, comme elles tombent toutes les deux du même côté de l’arc, il est possible que les zones coniques qu’ellçj décrivent soient à la fois plus grandes ou plus petites que la zone cono dique décrite par l’arc. Pour* éviter cet inconvénient, il n’y* a qu’à transporter parallèlement à elle-même la seconde tangente qui répond à l’extrémité de l’ordonnée f (x i), de manière que le poinj.oii cette tangente est terminée’ pür la première ordonnée fx tombe à l’extrémité de cette ordonnée, et devienne sécante dé la couAe. Alors cette sécante et la tangente au même point, tomberont l’une d’un’côté, et l’autre de l’autre côté de l’arc; et même la plus joOgue tomber^ toujours en dehors et la plus courte en dedans de l’arc, comme il est facile de s’en convaincre, par la construction : de sorti» que la zone conoïdique décrite par l’arc se trouvera nécessairement renfermée entre les zones coniques décrites par la tangente içx et par la sécante i'<p(x ■+-/). ' .

Or on sait, par la géométrie, què la surface convexe d’un cône tronqué est égale jt son côté multiplié par la demi-somme des circonférences des deux, bases ; donc, si l’on désigné par ir la circonférence du cercle dont le rayon = i , la surface de lit zone conique décrite par la tangente i<px sera . 1 * *

ôpxffx ~ f'.r^ VT ,

puisque les rayons des deqf bases sont, l’un fx, et l’autre f.r -+- if'x ; et la surface de l’autre zone, décrite par la tangente ou sécante

3* id.

i-<p (x -f- il, sera

*<P (•* •+• *) [fx ■+■ [ f (x H- O] tt } • ••

rar il est facile de voir que les rayons des lia ses de cç tronc de cône seront f.r et fx -+- i f'(x -+- i). •

Si donc l’on désigne par <l>.r la fonction de l’abscisse x qui exprime la surface du canokle, il est clair que la zone conoîde sera exprimée par la différence <l>(x 4- i) — et que cette différence devra être renfermée entre les deux quantités

/><px^f’x-+-'£f'x^ et tVp (.r -f- i)[fx -+- ^ f'(x -f- i)j>

en donnant à i une valeur quelconque aussi petite que l’on voudra. D’où l’on pourra conclure, par un raisonnement analogue à celui .du u’ 2T , que cette condition ne pourra avoir lieu, à moins que l’on n’ait

... , * 4 > x = ir tpx f.r = TT fx y j -J- (f'x)*. ,

Donc , on aura la surface du conoîde proposé, en prenant la fonction primitive de H» fonction *

• V f.r r -+- (f'.r)’ ou wjV* -4- y 7 *.

51 . En général, supposons que l’on cherche la fonction Fx par • ctte condition, que la différence F (x-)- i) — Fx doive être renfermée entre les deux quantités if(x, i) et i<p (x, i), f et <p dénotant des fonctions données de x et i telles, qu’en faisant i—o, on ait f.r = q>x, et