CHAPITRE SIXIEME

la quantité j étant indéterminée, mais comprise entre les limites o et «,

et pouvant être différente dans les différentes fonctions ; les fonctions dérivées, marquées par F', F", se rapportent à la variable x, et les fonctions dérivées, marquées par f', <p', se rapportent à la variable i. Donc, puisque l’on suppose fa - = <px, la condition dont il s’agit se

réduira à faire en sorte que la quantité i F 'x — F " (,c -t~ j ) soit com-

prise entre les deux quantités ifx -f- i t f’(x, j) et «fx -f- t’f '(«, j), quelque petite que puisse être la valeur de i. Donc il faudra que la différence ’ • - « *

*'(F'x - fr) Hh «’[{F ff (x -+-/) - f'(x,/)]

ne soit jamais plus grande que la différence

*’ Wfc, j) — y)};

mais, tant que le terme multiplié par la première, puissance de « ne sera pas nul, on pourra toujours prendre « assez petit pour que la première quantité devienne plus grande que la seconde, car il suffira pour cela

de prendre «'moindre que la quantité ^ ■ F* (j+/j ’ a ^ stract ' on

faite du signe de cette quantité. Donc*la ( condition proposée emporte nécessairement celle-ci,-

et, par conséquent,

î- F'x — fx = o,

* y r • 1 fC^

F'x = fxy

c'est-à-dire que la fonction cherchée Fa; devra être la fonction primitive de fx; et pour avoir la valeur complète de Fx, il faudra y ajouter une constante arbitraire que l’on déterminera par les conditions de la question. • ’ . *