deuxieme partie. — chapitre septième
donc
et
s = <tx.
» Pour un autre point quelconque répondant à l’abscisse x 4- i, les
ordonnées y et s seront f (x 4- î ) , ®(.r-(-t), et les ordonnéés q, r seront F (x 4- *), I 1 (.r 4- 1); et faisant, pour abréger,
il est facile de concevoir que la distance D entre les [joints des deux courbes qui répondent à la même abscisse x 4- i sera exprimée par
De là', par une analyse Semblable à celle qui a été /léveloppée^au commencement de cette seconde partie, on prouvera que si f'.r — F'x, p'x = <l>'a",.il sera impossible qu'aucune autre coyrbe donnée l qui ne satisferait pas aux niènjes conditions, piiisse* passer entre les deux courbes dont il s’aeit. . . „
Si l’on avait, de plüs, ‘
f'ib=F"Æ et = 4 >".r,' *
on prouverait, de la même manière, qu’aucune autre courbe pour laquelle -ceS équations n’auraient pas lieu ne pourrait passer entre les mêmes courbes ; et ainsi de suite. ...
Ainsi, en appliquant aux courbes à double courbure les mêmes notions des différents ordres de contact des courbes ordinaires, on en conclura que les deitx premières condition^ détermineront un, contact du premier ordre, que les deux suivantes détermineront un contact du second ordre; et ainsi de suite.
F,n général, en nommant x, y, z les coordonnées d’ilne courbe proposée, et p, q, r les coordonnées de la courbe donnée, pour laquelle on demande les conditions du contact d’un ordre donné avec la courbe proposée, si F (p t q, r) = o et $ (p, q, r) =. o sont les deux équations de la courbe donnée, on aura, pour uif contact du premier
a3ü THÉORIE DES PONCTIONS.
ordre, les quatre équations
pour un contact du second ordre, on aura de plus les deux équations
et ainsi de suite, en regardant, dans ces fonctions dérivées, y et z comme fonctions de x. On satisfera à ces équations par le moyen des constantes arbitraires a, b , c, etc. , qui entreront dans les fonctions données F (p, y, r) et $ (/;, y, r ) , et que l’on pourra appeler, comme ci-dessus fn° 10), élétnents du contact, lorsqu’elles seront déterminées en fonctions de x, -y, z, y', z', etc. *
» > -« • t ’ si *
35. Prenons pour la courbe donnée une ligne droite déterminée par les deux équations . » ^ <■
y = a -+■ bp, r = £ -t- dp ;
pour qu’elle ait un contact dp premier ordre, c’est-à-dire pour quelle soit tangente d’une courbe quelconque propesée et rapportée aux coordonnées x, y, z, on aura oes quatre équations
y — a -h bx,
d’où l’on tire
-t ~dx, .y' — b, ■ ,z' — d,
a—y—yx, c — z — zx;
de sertg que les équations de la tangente rapportée aux coordonnées p, y, r seront 4 • . .
q^y—yx+yp.
11 est facile de voir que ces deux équations représentent les deux tangentes des courbes planes qui forment les projections de la courbe proposée sur les deux plans des x et y et des x et z (n° 6) ; de sorte que, pour mener une tangente à une courbe à double courbure, il
