DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE SEPTIEME. . u3l

suffira toujours de mener les tangentes à ses deux projections, et la droite dont ces deux tangentes seront les projections sera la tangente cherchée. * • * -

34 . Supposons que l’on demande le cercle oscillateur d’une courbe a double courbure.

Pour avoir, de la manière la plus simple, les équations générales d'un cercle tracé sur un plan quelconque, nous considérerons le cercle comme formé par l’intersection d’un plan qui passe par le centre if une sphère; le rayon êt le centre de la sphère deviendront alors ceux du cercle, et le plan sera le plan même du cercle.

L’équation générale d’une sphère rapportée aux trois coordonnées P, f h C est ’ * ’ „ . * '

où a, b, c sont les coordonnées du centre, et r/ est le demi-diamètre ou rayon. L’équation, d’un plan rapporté aux mêmes coordonnées, et passant par le point qui répond aux coordonnées a, b, c, est, en général,

m et n étant deux constantes arbitraires, qui déterminent l’inclinaison du plan à l’égard des plans -fixes des coordonnées. la» système de ces deux équations représentera donc un cerclé dont le rayon sera d. dont le centre sera déterminé par les coordonnées n, b, c, et dont le plan dépendra des quantités m et n.

Si donc l’on change dans ces équations les quantités p, q, r en x, y, 2 , et que l’on en prenne les équations primés et secondes, on aura ces six équations:

(x — aj’-t- (y — b)'- f- (z — c)’= d\ x — a + m(y — b) 4 - n(: — c) = o, x— a ->rÿ(y — b) -+-z'(z — c) = o, i -+- my* nz! — o,

my"+ hz" z=* o, •

a32 théobie des fonctions.

dont les quatre premières renfermeront les conditions nécessaires pour que le cercle dont il s’agit ait un contact du premier ordre avec toute courbé à double courbure, dont af, s seront les coordonnées, / et z étant données en fonctions de xj et si l’on y joint les deux dernières, on. aura les conditions nécessaires pour un contact du second ordre, c’est-à-dire pour que le cercle devienne oscillateur de la courbe.

* Comme il y a dans ces équations six quantités indéterminées a, b, c, d, m et n, on pourra satisfaire à toutes ces conditions, et le cercle oscudateur sera déterminé de grandeur et déposition. Mais, si l’on ne demande qu’un cercle tangent, il restera deux indéterminées, pour lesquelles on pourra prendre le rayon «/, et une des deux quantités m et n. Dans ce cas, donc, l’équation

% +■ ' ' % x — * a zt- y’ ( J — 6) H- z! (z — c) -= o

déterminera le plan dans lequel se trouveront les centres de tous les cercles qui peuvent être tangents; et cottnne le rayon du cercle tangent est nécessairement perpendiculaire à la courbe, cette équation sera celle d’un plan perpendiculaire à la courbe , en prenant a, b, c pour les coordonnées dn plan. * % „

Considérons maintenant le contact du second ordre. Les trois premières équations donneront - .

Iny ' — mz')d X — a = g ,

en faisant, pour abréger,

R == VW' — -M» ■*“ »')* + ( m *-?')*-

Ces valeurs étant substituées dans la cinquième équation, on en tirera

Enfin, la quatrième et la sixième équation douneront.

je" ■ ■ y"

rn = ■

valeurs que l’on substituera dans les expressions précédentes.