DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE SEPTIÈME

On trouvera d’abord, après quelques réductions,

et de là

v'i -t-.r '*+ *" ■*jy'+z r '-H*y°— y 'O* | zy’—ÿz" ’

La qui mi ité sera lè rayon osculateur de la cofirbe proposée, et les quantités <i, b, c seront les coordonnées de Ta courbe des centres de tous les cercles ôsculuteurs ; mais cette courbe ne sera pas pour cela une développée, comme dans les courbes a simple courbure.

•' Ht ‘ ’

35. Pour s’en tfesurer, et trouver eri" même temps les conditions nécessaires pour qu’elle devienne uhe développée de la courbe à double courbure, il n’y à qu’à employer des considérations semblables à celles du4i d 23. - ,•

Reprenons les valeurs de a, b, c, tirées des trois premières équations, nous aurons . -

r (mr’ — ms)H J

c , (w-^r')rf

Ces expressions, en regardant les quantités x,.y, z,. y’, z', ainsi que m et n, comme constantes, et la quantité d comme seule variable, donnent les coordonnées de la droite dans laquelle est placé le rayon osculateur ; mais, en regardant toutes ces quantités comme variables, et m, n, d comme données en x, puisque y et z sont censées données en x, ces mêmes expressions représentant alors les coordonnées de y éd. T 3o

•>. i \ THÉORIE DES FONCTIONS. . ' i'. . t •

la courbe des centres. Or, pour que la même droite devienne tangente

de cette courbe, il faut que les valeurs de —, et ^ . en regardant b et c

comme fonctions de a, ou, en général, a, b, c comme fonctions d’une autre variable quelconque, soient (es mêmes dans les deux cas. Donc

les valeurs de j, > > y, devront être aussi les mêmes, soit que les quan-

tités a , b, c, cl soient seules variables, soit que les quantités x,y, z, m et n varient aussi en même temps; par conséquent, il faudra que les équations, 'qui déterminent ce» valeurs aient lieu également dans les deux hypothèses. • m ^

Or, si Ton considère H es équations qui ont servi à déterminer les quantités a, < b, c , d, m et y» en a--, y, y' ,y " , et que l’on regarde toutes ces quantités èonune variables à la fois, il est clair que les deux équations * • •

(.»•— a)’-h( y — b) 7 - f-(s — c)*=rf a et x — y— b)-y-z'{z — c)=o ehiporteront encore celle-ci , 1

qui n’est que l’équation prime dç là première, en supposant a, b, c, d

sailes variables. De même les deux équations

* — a -+~y'(y — b ) -h z'(z — c) = o et.. . , *' s , ,

i 4-j' s -+■ z' i -hy n ( y. — b) -+- z"(z — c) = o . .

emporteront celle-ci , , ; ' • . . '

qui est également l’équation prime de la. première, en ne prenant que a , b, c pour variables. Ces deux équations ont donc la condition demandée; mais, comme elles ne. suffisent pas pour la détennuiation

/ i if * i I»

des trois quantités ‘‘ , % » , il faudra trouver, de la même manière,

une troisième équation qui ^contienne les fonctions primes a 1 , b’, c';