DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE SEPTIÈME

or, les deux précédentes ayant été déduites de l’équation de la sphère, il faudra tirer la troisième de l’équation du plan

laquelle, en faisant tout varier, et ayant égard à l’équation

* 'S,,- • i -+- my' -i- nz' = o,

donnera

— a'~—,mb' — ne’ -+- m'{y — b) +- n' (z — e)t=?o, '* .

qui est, comme l’on voit, l’équation prime dé la précédente^ en «ip- * posant a, b, c, m, n variables à la fois; par conséquent, cette équation n’aura pas la condition demandée, à moins que la partie dépendante de la variation des quantités m et ne dispqraisse, e'est-à-dirv à

moins que l’on n’ait • •• 4 .

Si cette condition a lieu', alors l'équation restante , •

n' -+=•• nt,b’ -j- ne’ — o, *

combinée avec les deux équations que l’on vient de trouver, donnera

les valeurs de. J, ^ qui seront les mêmes, soit que les quantités a,

b, c, d soient seules variables,' soit que X, jyZ, m et n varient aus«i à la fois. Par conséquent, la droite dans laquelle est placé le rayon osculateur deviendra tangente à ta edurbe des centres: donc aussi ce rayon sera tangent de la même courbe, puisqu’il es{ terminé à cette courbe. Dans ce même cas, les expressions préeédentes de a, b, c donneront sur-le-champ ces fonctions primes,

d’où l’on tire

(m— jr')d\ ■ — R *•

u36 et de là

Or nous verrons ci-après ( n° 37 ) que cette équation montre que d est l’arc de la courbe dont a, b , c sont les coordonnées. Donc le rayon oscillateur sera non-seulement tangent à la courbe des centres-, niais encore égal à l’arc de cette courbe. Il ne sera donc autre chose que le développement de cette même courbe, laquelle sera, par conséquent, la développée de la Courbe proposée, dont x, y, z sont les coordonnées. * * • -

36. La condition /«'( y «*- b) -+- n'(z e) = q, que nous venons de trouver pour que la courbe ait une développée, a évidemment Jieu lorsque m et n sont constantes ; et, dans ce cas, la courbe sera toute dans un plau déterminé par cés constante^. Si ces quantités ne sont pas constantes t elles détermineront le plan tangent de la courbe; et lorsque l’équation précédente aura lieu, les rayons osculateurs formeront une surface courbe développable. Car, en ajoutant à cette équation l’équatiop • • • * . *

-h my-

rte

qui est ime de celles du n° 34, on aura cellerci ,

i ■+■ my'-f- nt' - 1- m' [y — b) -+- n' (z —-c) — o*

qui n’est autre chose que»!’ équation prime de l’équation du plan x — a -+- m{y b).-\- n (z r^- c) = o,

. '■**,• ■* • » ve

en regardant les coordonnées a, b , c du plan comme constantes, et la quantité x qui sert ici de paramètre, et dont les antres quantités y, s, m, n sont supposées fonctions, comme seule variable ; -ve qui constitue le principe des surfaces développables, comme on le verra plus bas.

Au reste, il y a une manière plus générale de concevoir les développées des courbes, laquelle consiste à prendre le rayon 1 de la développée dans une position inclinée au plan tangent, et qui donne lieu