DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE HUITIÈME

-H — [F (x -+- Ar, y - 4 - Xo) — F"(x -4- At, y -+• Ao) j

-+- io [F (x -f- Xi, y -+- Xo) — F' (x -+- Xi, y -i- Ao)j .

-H j [f„ (x 4- Xi, y -+- Xo) — F„(x -+- A i, y -+- Ao)|. ‘

Supposons que les termes multipliés par i et par o disparaissent, ce

qui a lieu en faisant z' == F' (x, y) et z ; = F,(x, y), d'expression de

D ne contiendra plus que des termes d’un ordre supérieur^ et il est

facile de prouver que l’on pourra toujours prendre i eto assez petits pour que cette valeur de D devienne moindre que la valeur d’iule pareille quantité pour une autre surface donnée, dans laquelle Içs ternies multipliés par i et pai'o ne-se détruiraient pas. Donc, si l'équation r = F (p, q) de la surface donnée contient trois, constantes arbitraires a, b, t, et qu’ équations *

il sera impossible qu'aucune antre, surface qui ne .satisferait pas aux mêmes conditions puisse passer entre cette même surface ’et la surface proposée dont les coordonnées sont x, y) z. '.

Il est visible que les trois équations précédentes ne sont autre chose que l'équation même de la surface donnée, en y changeant les coordonnées p, q, r en x, y,-z, et les deux équations primes de celle-ci, prises suivant x et suivant y. D’où l’on peut conclure, en général, que si F ( p, q, r) == o est l’équation de la surface donnée, les trois (•quations dont il s'agit seront renfermées dans celles-ci ,

F (x, y, ;) = o, F'(x, y, z) = o et F,(x, y, z) = o ,

en regardant z comme fonction de x et y, de sorte que si l’on dé- »

signe simplement par F'(x), F' (y)‘, F' (z) les fonctions primes de F (x, y, z), prises relativement à x, y, z seuls,* les deux dernières

on les détermine de manière à satisfaire aux trois

équations deviendront

Donc, si la surface proposée est représentée par l’équation

f(xly, i) == o, et que la surface donnée qui doit avoir un point de contact avec celle-là soit représentée par l'équation F (x, y, a) = o, la première donnera, en prenant les fonctions primes relatives àxet.r, ces deux-ci ,. . • •

' * ; K w + (*) = o. fir) -f- */(*) = o.

fie* deux équations combinées avec le$ deux précédentes, de manière à en chasser les dérivées z'.et z r , on aura ces deux-ci ,

. „ • • C'( jO - f;(«) .

. .. v v* TOrw .f'gî-TO’

d’où il s'ensuit que les trois fonctions dérivées £■'(*), f f'(z) doivent être respectivement proportionnelles aux fonctions dérivées

‘41. Si dans l’expression généra If de. la distance D, on développe les deux fonctions, qu’elle contient en poussant le développement jusqu’aux secondes dimensions de i et o, et que l’on suppose que les trois équations ci-dessus aient déjà lieu , on aura simplement

-h A w - A* + ^ A' -+■ Si A ,

en faisant', pour abréger,

A — f [x ,4“ Xi,' y — I- X/?) — I' ^.r -f- A/ , y -+- Xo),

A; = f’ (x -f- Xi, y -+- Ao) — F’ (.r -f- Xi, y -h Ao), etc.

Donc, si l’équation r = F (p, q) de la surface donnée est telle, que