DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE HUITIEME

l’on puisse encore satisfaire aux trois équations

les termes du second ordre disparaîtront aussi dans l’expression de D, et l’on prouvera aisément qu’il sera toujours possiblç de prendre les» quantités i et o assez petites pour que la distance D soit plus petite que la distance A pour toute autre surface donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions; d’où il suit qu’il sera impossible que cetfe surface passe entre la surface donnée dont l’équation est

et la proposée dont l’équation est

et ainsi de suite." -

Si l’on représente, en général, par F ( p, (j, r) — od’équation de la surface -donnée, qui doit avoir an point de contact avec une autre surface dont les coordonnées sontx^ /, z > les trois dernières équations seront renfermées dans celles-ci ,

F" (x, y, z) = o, F' jjx, y, z). = o, F ff (x, y, z) = o,

en regardant z comme fonction de x et y ; et ainsi des autres.

• On pourra donc étendre aux surfaces la théorie des contacts de différents ordres que nous avons exposée relativement nnx lignes courbes, et en déduire des résultats semblables. Ainsi, ponr le contact du premier ordre, on aura l’équation

avec ses deux équations primes suivant x et y; pour le contact du second ordre, on aura, outre les trois équations précédentes, les trois équations secondes de

suivant x, suivant/, et suivant x et jt et ainsi de suite.

fl

42. Prenons, pour la surface donnée, la sphère dont l’équation la plus générale est

{p. — a y -t- (y — by -+-(r — c'y — d*, '

p, y , r étant les trois coordonnées d’un point quelconque de sa surface , a, b, c les trois coordonnées qui déterminent la position du centre, et flMe demi-diamètre on le rayon. • ‘ .

En changeant dans cette équation p, y, r en .r, y, x, et prenant ensuite les *deux équations primes suivant x et y, on aura ces trois équations:

par lesquelles on pourra déterminer d’abord les trois constantes a,b,c; on trouvera ainsi : - -

V iH-2

’ ’ Ji,

et le rayon d sera encore arbitraire.

La sphère déterminée par ces éléments sera donc tangente de la surface, et par conséquent son rayon sera perpendiculaire à la même surface. Ainsi, en regardant la valeur de ce rayon comme indéterminée, les trois quantités d, b, c seront les coordonnées de la perpendiculaire à la surface, tétant variable, et .r, y, z constantes.

Si l’on veut avoir ces éléments a, b, c ,. ainsi que les angles set p du n°3ÿ, exprimés en différentielles, il n’y aura qu’à représenter les fonctions dérivées z\ a, par le9 différences partielles

43. Pour que la sphère devienne osculatrice de la surface, on aura encore trois autres équations qui seront les trois équations secondes de la première équation ci-dessus ; mais comme il ne reste plus qu'une