DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE ONZIÈME

soit toujours positive pour le minimum, et négative pour le maximum, quelles que soient les valeurs de p, 7, r, etc., et quelque petites qu elles puissent être.

Comme les fonctions f"(.r)} f n {x,y), etc., qui multiplient les carrés et les produits des quantités p, 7, r, etc., renferment ellesmêmes ces quantités, il pourrait être difficile, et peut-être impossible de déterminer les caractères nécessaires pour que la condition dont il s’agit ait lieu rigoureusement: mais j’observe que si l’on suppose A = o, ces fonctions deviennent indépendantes de p , 7, r, etc. , et ont des valeurs déterminées; et l’on trouve alors, comme on le verra dans un moment, des conditions entre ces mêmes fonctions, qui ne consistent que dans des inégalités entre des quantités composées de ces fonctions. Ces inégalités, étant supposées avoir lieu pour des valeurs déterminées de .r, s, etc., auront lieu encore pour les valeurs peu différentes x Jp, y -1- A7, z -l- Ar, etc. , tant que les quantités A p, A7, A r, etc., ne passeront pas certaines limites qui pourront être aussi peu étendues que l’on voudra. Donc, puisque la condition exigée pour le maximum ou minimum n’a besoin d’être remplie que pour des valeurs quelconques de p, 7, r, etc. , aussi petites que l’on voudra, il s'ensuit qu’il suffira de satisfaire à cette condition dans le cas de A = o; par conséquent on pourra supposer tout de suite A = o, ce qui réduira les fonctions ff (r) , f w (.r, y) , f "(>•), etc., qui entrent dans la quantité ci-dessus A/^f^se) •+- pqf"(x,y) -H ..., à n’être que les fonctions secondes de la fonction donnée f (x, y, z, .) prises relativement à a? seul, à xet y, etc.

06. Tout se réduit donc à trouver les conditions pour qu’une quantité de la forme

A p* -f- üpq Cq* -t- Dpr -+- Eqr -t- Fr’ -t- . . . ,

dans laquelle A, B, G, etc., sont des quantités données, et/;, 7, r, etc., dénotent des quantités indéterminées, soit toujours nécessairement positive ou négative, quelles que soient les valeurs de p, 7, r, etc.

Supposons qu’elle doive être toujours positive, il est évident que,

pour le cas contraire, il suffira de prendre négativement les coefficients A, B, C, etc. Puisque cette quantité ne doit jamais devenir négative, il suit qu’elle doit avoir un minimum positif; et réciproquement, si elle n’a que des minima positifs, elle ne pourra jamais devenir négative. Il n'y a donc qu’à cliercher les conditions nécessaires pour que la quantité dont il s’agit ait des minima tous positifs.

Suivant l’esprit de la méthode exposée ci-dessus (n° 52), on prendra les fonctions primes et secondes de la quantité proposée relativement à une seule variable, comme p, et l'on supposera la fonction prime égale à zéro, et la fonction seconde positive. On aura ainsi l’équation

aA p -+- B rj -+- Dr -+- ... = o, et la condition A>o.

On substituera la valeur de p , tirée de l'équation précédente, dans la quantité proposée, laquelle deviendra ainsi delà forme

en faisant

I j q* -+- !VI (jr Nr’ Pgs -I- . . . ,