DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE ONZIÈME

cédé, on aura l’équation

aTr Vf = o,

et la condition T >o; et ainsi de suite.

Maintenant il est aisé de voir que la dernière de ces transformées," celle qui ne contiendra plus qu'une seule des indéterminées p, </, r, etc., et qui sera, par conséquent, de la forme sera elle-même le minimum de la quantité proposée; d’où il s'ensuit que les conditions pour que cette quantité ait un minimunf positif seront

et comme les équations qui déterminent les valeurs de p, (j, r, etc., sont toutes linéaires, on en conclura que ce minimum sera le seul qui puisse avoir lieu. Ainsi, le problème est résolu rigoureusement.

Au reste, il est facile de voir que par ces différentes transformations, la quantité proposée deviendra de la forme

■+ T ( r| - —ar-’j

laquelle sera évidemment toujours positive ou négative, suivant que les coefficients A, L, T, etc., le seront tous à la fois ; et l’on voit en même temps par cette forme que les quantités A, L, T, etc., pourront être milles, pourvu qu’elles ne le soient pas toutes à la fois.

Les conditions que nous venons de trouver deviendront donc celles du maximum ou minimum de la fonction f (x, y, z, «,...), en faisant pour le minimum,

A = if>), B = ry, >), C = etc. ,

et pour le maximum, * * .

A = -^fy), ,B = -f>,j), C = -irir), etc-

11 est facile de voir l’accord de ces résultats avec ceux du n” Sî; mais

ia méthode précédente a l'avantage de fournir un moyen simple d'étendre ces résultats à un nombre quelconque de variables.

57, Les principes exposés jusqu’ici sur la théorie des maximis et / ninimis conduisent à cette conclusion générale: si dans une fonction quelconque des variables x, y, z , etc., l'on substitue à la place de ces variables les quantités x -+-/>, y -+- q, z -h r, etc. , et que l’on développe la fonction suivant les puissances et les produits des quantités p, f/, r, etc., les termes où ces quantités ne se trouveront qu’à la première dimension, étant égalés chacun séparément à zéro, donneront les équations nécessaires pour que la fonction proposée devienne un maximum ou minimum ; ensuite on considérera la quantité composée de tous les termes où p, y, r, etc., formeront deux dimensions, et il faudra pour le minimum que cette quantité soit toujours positive, et pour le maximum toujours négative, quelles que puissent être Jes valeurs dé p, y, r, etc.

Si tous ces termes s’évanouissaient à la fois, il faudrait alors, pour l’existence du maximum ou minimum, que tous les termes où p, y, r, etc., formeraient trois dimensions, disparussent aussi à la fois, et que la quantité composée des termes où p, y, r, etc., formeraient quatre dimensions, fût toujours positive pour le minimum et toujours négative pour le maximum, p, y, r, etc., ayant des valeurs quelconques; et ainsi de suite. Ce qui répond, comme l’on voit, au théoreine du n“ 25.

Noûs ayons donné ci-dessus un moyen simple pour trouver les conditions qui rendent une quantité de la forme Ap 1 -f- F \py -t- tou-

jours positive on négative; on pourrait, de la même manière, cheroher celles qui rendraient toujours positives ou négatives des quantités de la forme A// -+- Dp 1 y 4 - ...; mais l’application de la méthode générale à ce cas serait sujette à des difficultés du calcul qui pourraient la rendre impraticable ; et c’est là un problème d’algèbre dont il serait à désirer que l’on put avoir une solution complète.

58. Nous avons supposé jusqu'ici que les variables qui entrent