DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE ONZIÈME. 2J I

dans la fonction sont indépendantes les unes des autres; mais s'il y avait entre elles une ou plusieurs équations, il faudrait commencer par éliminer, au moyen de ces équations, autant de variables dans la fonction proposée, on chercherait ensuite la condition du maximum ou minimum par rapport aux variables qui seraient restées dans la fonction. C’est la méthode qui se présente naturellement ; mais on peut la simplifier beaucoup, en conservant toutes les variables et réduisant l’élimination aux seules quantités p, q, r, etc.

En effet, supposons que l’on ait entre les variables x, y, 2, etc., , l’équation de condition

comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de x, y , s, etc., elle aura donc lieu aussi en mettant x -f- p, y -y q. z -y r, etc., à la place de x, y, z, etc.; par conséquent, on aura, par un développement semblable à celui du n° 78, (première partie), l’équation

-t -jpWfc) -y pq<f(x, y ) -f- V/Vfj) •+-•••= o,

d’où l’on pourra tirer la valeur de p, en série, que l’on substituera dans le développement de la fonction qui doit être un maximum ou un minimum; ou bien on ajoutera simplement à ce développement la quantité qui forme le premier membre de l’équation précédente multipliée par une quantité quelconque indéterminée qui pourra même être de la forme

a-ybp-ycq -ydr-y ... y-lp*-y rrqjq -y . ..,

les coefficients a, b, c, etc., étant indéterminés, et l’on égalera à zéro tous les termes qui contiendront la quantité/;, ce qui servira à, déterminer les inconnues a, b , c, etc. f

Comme les équations du maximum ou minimum résultent de l'évanouissement des termes où les quantités p. q, r, etc., ne sont qu'à la première dimension, il suffira d’égaler à zéro chacun de ces termes .

ce qui donnera sur-le-champ les équations r

l' , ('4 -f- <«p'(-r) —o, f'( j) aç'(y) =0, f'(z) 4- af>'(z) =0, etc. ,

que 1 on réduira ensuite à une de moins par i 'élimination de f inconnue a. A l’égard des termes où les quantités p , y, r, etc., lormeront deux dimensions, on déterminera, par les méthodes exposées ci-dessus, les conditions qui doiveht avoir lieu entre les coefficients de ces termes, et l’on cherchera a satisfaire à ces conditions de la manière la plus générale, au moyen des quantités arbitraires b, c, <!, etc.

Nous ne faisons ici qu’indiquer cés procédés dont il sera facile de faire l’application ; mais on peut les réduire à ce principe général : Lorsqu'une fonction de plusieurs variables doit être un maximum ou minimum, et qu’il y a entre cés variables une ou plusieurs équations, il suffira d’ajouter à la fonction proposée les fonctions qui doivent être milles, multipliées cliaeune par une quantité indéterminée, et de chercher ensuite le maximum ou minimum comme si les variables étaient indépendantes; les équations que l’on trouvera coiqbinées avec les équations données, serviront à déterminer toutes les inconnues.

.’iî). On peut résoudre, par les mêmes principes, les questions’où il s’agit de trouver des courbes qui jouissent, dans chacun de leurs points, de quelque propriété donnée de maximum ou minimum.

Supposons, par exemple, que l’on demande la courbe dans laquelle la quantité que nous avons nommée IC dans h* problème du n° 15 , soit ou maximum ou minimum à chaque point de la courbe. Cette quantité est exprimée par la fonction

[y -h (rn — a-) y'] [y -+- (« — -r) y') ,

et la question consiste à trouver la valeur de y en x, «pii rendra cette fonction un maximum bu minimum. Si les deux quantités y et y’ étaient indépendantes t’une de l’autre, on pourrait déterminer le maximum ou minimum relativement à chacune de ces variables ; mais comme ces quantités dérivent l*une de l’autre, et que leur relation demeure inconnue tant que l une d’elles n’est pas une fonction déterminée de .r,