deuxième partie. — chapitre douzième

à zéro le coefficient de chacune «le cellt» qui resteront pour satisfaire à l’équation B — A = o, indépendamment de ces «fuantités.

64. Ayant ainsi satisfait à la première condition, il ne restera plus qu’à remplir l’autre condition, qui consiste en ce que la fonction primitive de la quantité

xn.r) -+- »»'f”{y, ÿ) -+-■ > ,, r(.r')

doit être entre les mêmes limites a et b de x toujours positive pour le minimum, et négative pour le maximum, en supposant «pie la valeur de » soit quelconque et aussi petite que l’on voudra.

Je remarquerai d’abord ioi que, quoique les fonctions f"(y), f "( y, y'), etc., renferment essentiellement les quantités a, », etc.. (n° 61 ), oh peut prouver, par un raisonnement semblable à celui du n° 53, qu’il suffira pour le maximum ou minimum, que la condition «lont il s’agit soit remplie en supposant le coefficient A égal à zéro, ce qui fait disparaître ces quantités des fonctions dont il s’agit, en sorte que ces fonctions ne seront plus alors que les fonctions secondes de la fonction f'(x, y, y', y” ■■ -K prises relativement à y seul, à y et y' , à y ' seul, etc., et auront, par conséquent, des valeurs déterminées en x, y, y 1 , etc.

Cela posé, si l’on rappelle ici le théorème que nous avons démont«é dans la première partie (n°38), on en conclura «pie la condition dont il s’agit serait satisfaite si la proposée

était telle, qu’elle fût constamment positive ou négative pour toutes les valeurs de x, depuis x — a jusqu'à x = b, indépendamment des quantités », », », etc.; et comme nous avons donné plus hant ( n“ 56 ) les «sonditions les plus générales pour qu’une «]uantité de la forme dont il s’agit soit nécessairement positive ou négative, il n’y aura qu’à examiner si ces conditions ont lieu dans la condition dont il s’agit. Si elles n’avaient pas lieu, «ni si elles n’avaient lieu «pie dans une partie de cette quantité, il faudrait alors chercher la fonction primitive de l’autre partie, et la rendre nulle, ou au moins positive pour 3‘ ëd. 36

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le mini muni, et négative [jour le. maximum, indépendamment des quantités a», a»', co , etc.

65. Pour simplifier la solution de cette question, nous supposerons d’abord que la quantité proposée ne renferme que les carrés et les produits des deux quantités ai, u\ on verra aisément que la même méthode s’étend aux cas plus compliqués, et nous représenterons par cette formule

M etef N -+- « 1 P,

la partie de la même quantité qui est toujours positive ou négative entre les limites x = a, x — b ; -l’autre partie sera

«’UH.r) — mj -t- — /) - N] -+- a.'«[ir,(V) - P],

dont il faudra chercher la fonction primitive, et il est facile «le s’assurer «l’avance que, pour que la quantité ai demeure indéterminée, cette fonction ne pourra être que de la forme pl -+- ai’v; prenant donc sa fonction prime, et comparant terme à terme avec la précédente, on aura

et

fJL — O,

o-{f f ir')

La première «le «ns» équations «lohne u égale à une constante arbitraire, et les trois autres serviront à déterminer les valeurs de M, N, P, qui seront

et il faudra que ces valeurs satisfassent aux conditions qui résultent des formules du n" 56. Or, en prenant les quantités a' et a à la place des quantités pet <y, et, par conséquent, P, N, M à la plaee de A, B, 0,

et faisant T = M — jp» on aura pour le minimum les deux condi-

tions P>o et T>o, et pour le maximum les conditions opposées, P<oet T<o, ou bien l’une des deux quantités P, T égale à zéro, tant pour le minimum que pour le maximum, et ces conditions de-