deuxième partie. . — chapitre douzième. j

vront avoir lieu pour toutes les valeurs de x, depuis x = n jusqu’à v = b, pour que la quantité a» ’ P «a/N 4- M soit constamment positive dans le premier cas, et négative dans le second, entre ces mêmes limites. Comme la quantité P est donnée, elle indiquera tout de suite le maximum ou minimum ; mais on n’en sera assuré que par l’autre condition T> ou <o, ou bien = o pour les deux cas.

66. De plus, et c’est ici une condition bien essentielle, il faudra que les quantités M, N, P ne deviennent point infinies entre les mêmes limites, pour que l’on puisse être assuré que la fonction primitive de la quantité dont il s’agit, sera nécessairement positive ou négative, d’après le théorème du n° 38 de la première partie ; car ce théorème, étant fondé sur la nature du développement des fonctions en séries despuissances positives de la quantité ajoutée à la variable, est nécessairement sujet aux exceptions attachées à la forme de ce développement, que nous avons examinées n° 30 (première partie), ét n° 13 cidessus: il pourra donc être en défaut, si les fonctions dérivées de la fonction primitive deviennent infinies, parce qu’alors le développement n’aura plus la même forme ; c’est caqui arrivera nécessairement, lorsque la fonction primitive passera du positif au négatif par l’infini, comme les fcftigentes des’ angles : alofs pour la valeur de x répondant à ce passage, le développement de la fonction dex4-/ aura soir premier ternie de la forny Ai", m étant un nombre impair négatif, et la fonction prime, ainsi que toutes les suivantes, seront infinies. Dans ce cas, la fonction primitive pourra changer de signe, quoique sa fonction prime conserve toujours le même signe.

Pour en voir un exemple bien simple, il n’y, a qu’à considérer la

fonction » qui est — i lorsque x et ~ — a lorsque X — 2;

cependant sa fonction prime est toujours positive tant que x

a une valeur réelle. Ici la fonction primitive et toutes ses dérivées deviennent infinies lorsque x = i .

C’est une modification à apporter au théorème dont il s’agit, mais qui n’influe point sur la conclusion qu’on en a tirée dans le n" 39.

THÉonlE DES FONCTIONS.

07. Ayant satisfait à ces conditions, on aura la fonction primitive ju - 4 - ai 1 *, dans laquelle /x est une constante arbitraire que l’on déterminera, en sorte que la fonction soit nulle lorsque x = a. Supposons 6>’ir=(n), et soit (A) la valeur de (t!) lorsquex=a, on aura ^u= — (A); ainsi la fonction primitive dont il s’agit, sera (ft) — (A), laquelle devra être nulle ou positive pour le minimum, et négative pour le maximum, en faisant x— b. Soit donc (B) la valeur (Q) lorsque x = b; il faudra que l’on ail (B) — (A) > ou <o pour le minimum ou le maximum, ou ==o pour les deux cas, indépendamment de la valeur de &>, qui doit demeurer indéterminée.

Si la valeur de y est donnée pour les valeurs a et b de x, la valeur, correspondante de u étant alors nulle, on aura (A) = o, (B) == o, et la condition précédente sera remplie, tant pour le maximum que poulie minimum. Mais si les valeurs de >• ne sont pas données, alors il faudra que l’on ait pour le minimum, v = ou >o lorsque .r = b, et r = ou <o lorsque x = a ; et pour le maximum, r — o ou <o dans le premier cas, et r =o ou >o dans le second.

\ l’égard de la valeur île la quantité v,.élle dépend simplement de la

condition T ou M — >o pour le minimum, et <o pour le maximum. Cette condition sera donc, en substituant les valeurs de M, N, P,

in.r)

’f'OO

> ou <o.

et l’on pourra prendre pour v une fonction quelconque de x qui y satisfasse.

Ce qu’il y aurait de plus simplç, ce serait de supposer la quantité T nulle (n° 65); ce qui donnerait l’équation

4MP — N’ = o,

savoir ' ‘ .

*•'(/) IHr) - -.»]»* d,.

par laquelle on pourrait déterminer la valeur «le y ; et le maximum ou minimum dépendrait simplement du signe de la quantité P on £f "{y')-