DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DOUZIÈME
On aurait de cette manière le même résultat que donne la méthode proposée dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1 788, pour distinguer les maxima des mini ma dans le calcul des variations. Mais, d'après ce que nous avons dit ci-dessus, il faudrait, pour l’exactitude de ce résultat, que l’on put s’assurer que la valeur de v ne deviendra point infinie pour une valeur de .r comprise entre les valeurs données a et t >\ 'ce qui sera le plus souvent impossible par la difficulté de trouver l’équation primitive en r et x. Sans cette condition, quoique
la quantité &i s M-t-«aéN-f-a/ 5 P devienne alors de la forme P^aé-4- )\
et qu’elle soit, par conséquent, toujours positive ou négative, suivant que la valeur de P le sera, on ne sera jamais certain de l’état positil ou négatif de sa fonction primitive.
68. Pour en donner un exemple qui pourra servir en même temps d’application de la méthode que nous venons* d’exposer, supposons que la fonction f(x, y, y'..Xl dont la fonction primitive doit être un maximum ou minimum, soit
y 1 * -t- imy’y -t- «j’j
en prenant les fonctions primes et secondes, on aura
. • f '(.r) = 2 (my' -+-ny), f ’(y')= 2 (/.-+- mjr),
substituant ces valeurs dans l’équation générale du n° 62 , qui, dans ce cas, se réduit à
nn-[f'(/)]' = o,
on aura
2 (mj'-4- hy) — 2 (y* — nry') = o, . .
savoir .*
y" ny = o
pour l’équation du maximum ou minimum. Cette équation est susceptible de la méthode du n° SS (première partie), et donne sur-lechamp
• = hc~ x ' / ’,
THÉORIE DES PONCTIOSS.
g et h étant deux constantes arbitraires; si n était pne quantité négative = — P, alors on aurait, en prenant d’autres constantes arbitraires, g et h,
y = g sTn (k.c h).
Supposons, pour plus de simplicité, que les valeurs de y soient «lonnées pour les deux valeurs extrêmes a et b de x, les quantités A et JJ seront nulles d’elles-mêmes, et l’équation B= A sera satisfaite (n° 65); on déterminera donc les constantes a et b de manière que-/ ait les valeurs données lorsq«ie x = a et x = b.
Maintenant, nous aurons, par les formules du n“ 65,
1 où I on voit que, puisque P est > 0 , il n’y a que le minimum qui puisse avoir lieu. .Mais cette condition ne suffit pas pour assurer l’existence «lu minimum; il faudra, déplus, que l’on ait
ou
Soit, i°. M — > o, on aura
n — / — (rn — 1 )? > 0 ,
en prenant pour v une «juantité qui ne devienne point infinie entre les limites a et b de x. Si la valeur de n est positive, il est clair que l’on peut satisfaire à cette condition, en faisant r = m ; ainsi on sera assuré, dans ce cas, de l’existence du minimum, puisque les deux quantités (A) et ( B) sont d’ailleurs nulles par l’hypothèse xjuedes valeurs de-r sont données pour x == a et = b ( n° 67). Mais si n est négative et = — P, on aura alors la condition
et il n’est pas aisé de trouver une valeur satisfaisante de v, ni même de s’assurer qu’on pourra la trouver.
