DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DOUZIEME

2ftf)

lesquelles donnent u égale à une constante arbitraire ; ensuite

M= iT(j)

où les trois quantités », t, p demeurent indéterminées; mais il faudra les prendre telles, qu’elles satisfassent aux conditions auxquelles doivent être assujetties les quantités M, N, P, etc., et que l’on peut déduire du n° 56, en prenant les quantités u r , ai', ai à 4a place des quantités p, q, r. Ainsi, si l’on fait

les conditions pour le miiùmuip seroTit S>o, T>o et Y >o, et pour le maximum S<o, T<o, Y <o ; et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de x, depuis x == a jusqu’à æ = b. I.a valeur de S indiquera le maximum ou minimum ; mais on n’en pourra être assuré que par le concours des deux autres conditions. De plus, il faudra que les quantités M, N, P, Q, R, S ne deviennent jamais infinies entre les mêmes limites, par les raisons exposées plus haut (n° 66 ).

Enfin, il faudra qu’en supposant (fl) = «’» -|- ucJtr -+- a*p, et prenant (A) et (B) pour les valeurs de (11) qui répondent à x — a et X — b, la quantité (B) — (A) soit positive pour le minimum et négative pour le maximum, indépendamment des valeurs de a> et eo (n° 67 ).

On suivra les mêmes procédés pour les fonctions plus compliquées.

70. Si les valeurs de y, etc-, n’étaient pas données pour les valeurs a et b de x, mais qu’il y eût seulement, par la nature du 3 e <fd. 3?

THÉORIE DES PONCTIONS.

problème, une relation entre ces quantités, représentée par l’équation

alors, suivant les principes du n° 08 , il n’y aurait qu’à ajouter à la fonction qui doit être positive pour le minimum, et négative pour le .maximum, la quantité

vf(.r) ■+■ »>'(/') -+- »'Vu'") -+-■••• -+- {«Vur) •

multipliée par un coeflicient indéterminé r, et traiter ensuite les quantités a, cJ comme indépendantes. Ainsi, si la condition dont il s’agit doit avoir lieu pour la valeur de r = a, on ajoutera aux deux quantités A et fA) ( n m 63, 67 ) J les quantités

-t- to'v’iy') -h ••>]»

tjt j

rapportées à la même valeur de x; et si cette condition devait avoir lieu pour la valeur .r = />, on ajouterait aux valeurs de B et de (B) les mêmes quantités rapportées à .r = b.

On suivrait le même procédé pour chacune des conditions données, s’il y çit avait plusieurs.