CHAPITRE TREIZIÈME

Extension de la méthode précédente , aux Jonctions d'un nombre quelconque de variables. Problème de la* brachystnchrone: Va-' ractères pour distinguer si une Jonction proposée est oit non une Jonction prime, ou, en général , une fonction dérivée d'un certain ordre. ; '

71. La fonction proposée, dont la fonction primitive doit être un maximum ou un minimum, pourrait contenir, outre les variables x et y, une troisième variable z, indépendante des deux autres ; on opérerait alors, relativement à cette variable, comme on a'fait relativement à y. Ainsi, en désignant la fonction proposée par

on y substituera à la fois les quantités y - f- ® et z-t-Çàla place de y et z, et il faudra, après le développement, que la fonction primitive de la partie qui ne contiendra que les premières dimensions de a>, a , u , etc., Ç, £', Ç", etc., soit nulle, et que la fonction primitive de la partie qui contiendra les secondes dimensions de ces mêmes quantités, soit positive pour le minimum et négative pour le maximum, indépendamment des quantités a> et £.

De là, par une analyse semblable à celle du n° 62, et en conservant aussi pour les fonctions primes relatives à z, z', z ", etc. , une notation semblable à celle que nous avons employée relativement à y, y ',

aga théorie des foncthîns.

y" , etc., on aura ces deux équations

qui serviront à déterminer les quantités y et z en fonction de x. Ensuite il faudra, relativement aux quantités z et £, satisfaire à des conditions semblables à celles que l’on a trouvées par rapport à y et a> ; c’est un détail qui nous mènerait trop loin, et que le lecteur peut suppléer.

On voit par là que, s’il y avait une quatrième variable u, on aurait, relativement à cette variable, une équation semblable à celles qui répondent aux variables y et z; et ainsi de suite.

72. Mais si, dans la fonction f (x, y,y'...z , z'...), la quantité z dépendait des quantités x et^j d une manière quelconque donnée par l’équation ♦

alors, suivant les mêmes principes du n“ 58, on ajouterait simplement la fonction p[x, y, y'... z, z'..f), multipliée par un coefficient indéterminé et variable A, f à la fonction proposée f (x, y,y\.. z,jz'...j, et l’on chercherait, par les méthodes exposées, le maximum ou minimum de la fonction primitive de cette fonction composée, en regardant les quantités y et z comme indépendantes. Ainsi,, on trouvera d’abord, pour le maximum ou minimum, les deux équations

r(z) -[f'(^)3'-H[f'(* ff )r-...+W(z)

d’où, éliminant la quantité A , on aura une équation qui, combinée avec l’équation donnée <p (x, y, > '... z, z'...) — o, servira à déterminer les valeurs de y et z en fonction de x.

Enfin, si la fonction primitive de la fonction f(.r, y, y'. . .) ne

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