deuxième partie. — chapitre treizième

devait être un maximum ou un minimum qu’autant que la fonction primitive d’une autre fonction <p (x, y, y'...) serait donnée entre les mêmes valeurs a et b de x , il n’y aurait qu’à chercher le maximum ou minimum de la somme des deux fonctions primitives, après avoir multiplié la seconde par un coefficient indéterminé indépendant de x, c’est-à-dire le maximum ou minimum de la fonction primitive de

en regardant A comme une quantité constante. De cette manière , ou aura d'abord l’équation

f'( y) - [ + [ f' (/*)]* - ... -f- tf(jr)

et l’on déterminera la constante A de manière que la fonction primitive de <p (x,y,y r ...), prise depuis x = a jusqu’à x=b, soit donnée; et ainsi du reste.

73. Les problèmes de la brachystochrone et des isopérimètres, proposés et résolus d’abord par les deux frères Bernoulli, ont ouvert la route pour traiter ce nouveau genre de questions de maximis et minirnis. On a trouvé ensuite successivement des méthodes plus générales et plus simples, et l’on est parvenu enfin au calcul des variations, qui parait ne rien laisser à désirer sur ce sujet. Comme les équations trouvées plus haut (n"62, 70) sont les mêmes, à la notation près, que celles qui résultent de ce calcul, nous pourrions nous dispenser de les appliquer à des exemples ; mais il ne sera pas inutile de montrer encore par un exemple connu, l’usage des règles pour distinguer les maxima des mininia, et s’assurer de leur existence.

Nous reprendrons pour cela le problème de la brachystochrone, ou ligne de la plus vite descente, à cause de sa célébrité : il consiste, comme l’on sait, à trouver la courbe le long de laquelle un corps pesant descendrait dans le moindre temps d’un point donné à un autre point donné, et placé dans Une verticale différente. Comme, par les principes de la mécanique, la fonction prime du temps est égale à la

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jonction prime de l’espace divisée par la vitesse, et que, dans les corps qui tombent par la pesanteur, la vitesse est toujours proportionnelle à la racine carrée de la hauteur d’où ils sont censés être descendus, si l’on rapporte aux trois coordonnées rectangulaires x,y, z, la courbe décrite par le corps, et que l’on prenne les abscisses r verticales, la vitesse sera proportionnelle à \Jh -+- x, et 1 -t- y' 3 -+- z' 1 sera la

fonction prime de l’arc de la courbe (n° 37 ) ) ainsi — — sera

proportionnelle à la fonction prime du temps, dont la fonction primitive devra être un minimum. O 11 aura donc

donc, prenant les fonctions primes, on aura f V ) = o,

et l’on aura (n° 70) les deux équations

lesquelles donnent d’abord ces deux-ci du premier ordçt'

VA+x v^i +x '+ z *

m et n étant deux constantes arbitraires.

En divisant ces deux équations l’une par l’autre, on a = ”* ; donc z' — et, prenant l’équation primitive, on aura