DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE TREIZIEME. 2<j

l étant une nouvelle constante arbitraire. Cette équation étant à un plan vertical, puisque l’abscisse verticale x ne s’y trouve pas, fait voir que la courbe cherchée est toute dans ce plan: ainsi, en prenant l’axe des / dans ce même plan, on pourra supposer z = o, en faisant / et n = o ; et l’on aura pour la courbe cette équation unique entre les coordonnées x et y.

d’où l’on tire

mv'A-f- x

V'ji —

équation à la cycloide, les abscisses x étant prises sur le diamètre du cercle générateur, et les ordonnées / perpendiculairement à ce diamètre.

Puisque l’on suppose, que les deux points extrêmes de la courbe sont donnés, les quantités a» et £ répondant à ces points seront nulles, et les valeurs des quantités A et B seront nulles aussi en prenant a et b pour les valeurs de x qui répondent à ces points ; ainsi la condition B — A = o sera remplie. Si l’on faisait d’autres hypothèses relativement à ces points, on trouverait d’autres résultats; nous ne nous y arrêterons pas, parce que ces différentes questions ont été déjà discutées et résolues par les principes du calcul des variations. Mais il faut voir ce que donnent les termes où les quantités u et £ monteront à la seconde dimension, et dont la fonction primitive doit être positive pour que le minimum ait effectivement lieu.

Comme la fonction proposée f(x, y, y' ... z, à\..) ne contient point, dans le cas présent, les variables y et z, mais seulement leurs fonctions primes y' et z', il est facile de voir que les termes dont il s’agit seront simplement de la forme

et l’on trouve, en prenant les fonctions primes des quantités f r (y')

THÉORIE DES PONCTIONS.

et f'(z') relativement à y' et z',

v/4+l(i+/’+:’jï

y'A-t-JC ( I +y *4 -* *)’

e{z') = '—i±il ... ■ :

de sorte que la quantité dont il s’agit deviendra

a v'A-4-x(i 4-^’ + *'* )’ laquelle peut se mettre sous cette forme

a 'Jh-\-x(i+y'+z' t ÿ

où l’on voit que cette quantité a d'elle-même la propriété d’être toujours nécessairement positive, quelles que soient les valeurs de o> et £; et, comme d’ailleurs elle ne saurait jamais devenir infinie tant que y’ et z' ne seront pas infinies, fi s’ensuit que le minimum aura nécessairement lieu dans la cycloïde.

Nous n’entrerons pas dans d’autres détails sur ce problème qui offre différents cas à examiner, suivant les conditions que l’on peut demander relativement au premier et au dernier point de la courbe, et par rapport à la courbe même que l’on peut supposer devoir être tracée sur une surface donnée. La solution de tous ces cas peut se tirer aisément des principes établis ci-dessus. Voyez la fin de la vingtdeuxième leçon du Calcul des Fonctions.

74. L’analyse que nous avons employée pour trouver les maxima et tninima des fonctions primitives donne lieu à une observation importante. Nous avons trouvé ( n” G2 ) que, pour que la quantité