DEUXIÈME PARTIE. — .CHAPITRE TREIZIÈME

ait une fonction primitive, quelle que soit la valeur de tu, il finit satisfaire à l’équation

ro)-in.r')] , + ffv , )r-.- =« •

Donc, si eette quantité était d’elle-mème la fonction prime d’une fonction de x, y, y', etc., tu, u, etc., l’équation précédente aurait aussi lieu fl’elle-m^iue et serait, paneonscquent, identiques

Or on voit, par le n° 61 , yue la quantité dont il s’agit n’est autre chose que la partie du développement de la fonction

f + »i j’ + m 'i y" ■+■ tu" ... ),

qur ne contient que les premières dimensions de ai. a>\ eu", -etc. ; et je

vais prouver* que cette quantité sera nécessairement une fonction

prime, si f (.r, y, y', r ".. . ) est elle-même une fonction prime d’une

fonction de .r, y, y', etc.

En effet, si cette fonction est une fonction prime, quelle que soit la valeur de r en x, elle le sera encore en mettant y eu au .lieu dp y, quelle que soit la quantité eu ; donc la fonction

f (■*■’» -.Y ■+■ at* ) • ’ . *

sera aussi nécessairement une fonction prime, en prenant pour eu une

fonction quelconque de x. Supposons que cette fonction soft développée suivant les puissances et Jes produits de -tu, tu, u" , été,,., et dénotons respectivement par P, y , R, etc. , les parties de ce développement qui contiendront les premières dimepsions, les secondes dimensions, les troisièmes, etc., des mêmes. quantités, on aura

f fir, y-T-u, y ■+■&> , ,v ■+■• • ..y = f(.r, y, y', y -, • .y-pP h*'Q- 4-' R^t- . . .•

Ainsi, il faudra que la quantité P -+- Q -t- & -H . . . soit la fonction prime d’une fonction de x, y, y’, etc., et de tu, tu, eu" , etc: ; ef il . est facile de voir que chacune des quantités P, Q, R , etc. , devra être en particulier une fQnction prime, puisque ces quantités renfermant des dimensions différentes de l’indéterminée tu et de ses fonctions dérivées y > d. ♦ f »

«',//, etc., il est impossible, parla nature des fonctions dérivées, que les fonctions primitives de P, Q, R, etc., dépendent les unes des «titres. Or on a, dans le numéro cité.

n rtf < tt \

donc cette quantité <sera d’elle-mème une fonction prime. Donc, enfin, si la fonction f (x, y, y' r ^y 1 '...) est une fonction prime, l’équation ** ' ' -

f'(.r) - | f'(j')]' -h | f '( r")]" - [ r(r w if +*... = b

sera .nécessairement identique. * . %

* ftéfciprqquerncnt , on peut démontrer que si cette équation est identique, la’ fonction f (.r, *>', y', y" . . . ) sera nécessairement une fonction prime ; car nous ayons vu que si cette équation est vraie, la quantité P est une fonction prime, quelles que soient les valeurs de y et de eu: donc elle sera encore une fonctioii prime, si, à la place de y, on met y -b a>. Supposons que , par cette substitution et par le développement suivant les dimensions de <a, eu , «b", etc,, la quantité P devienne P -4-/» -f- ... ; la quantité p contenant les premiers ternies du développement dans lesquels ai, a, a!' , etc., ne formeront que deux dimensions, onenconclura, comme plus haut, que la quantité/? sera, en particulier, la fonction prime dune fonction de x,y,y', etc. , ai,J , etc.; mais, par les formules générales que nous avons données dans le n° 7B de \$ première partie, il est f3cile de voir que l’on a p = aQ: donc la quantité Q sera une fonctioh prime, y et a> étant quelconques ; donc elle sera encore une fonction prime en y substituant y -t- a pour y. Et si Pou suppose que, par cette substitution et parie développement suivant les puissances et les produits de eu, eu', etc., cette fonction devienne Q -t- y -+- .. la quantité q renfermant les premiers ferjpes du développement où les a>, eu, ai' , etc . , ne formeront que trois dimensions, 011 en conclura aussi, comme ci-dessus, que la quantité q sera elle-même une fonction prime ; mais par les formules du même numéro, on trouve y = 3R : donc la quantité R sera elle-même aussi une fonction prime, et ainsi de suite. En effet, si r, s, etc , sont