DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE QUATORZIÈME. 3ô

en regardant maintenant X comme un paramètre constant qui ne varie que d'une section à Fautre. Donc, en prenant z à ta place de r, et y à la place de x, on aura ( numéro cité ) •

Faccent mis au bas de la caractéristique <p dénotant la fonction déri\ée par rapport à y, comme nous l’avons pratiqué jusqu'il présent.

. On a donc les deux équations

F'(fc, y) = <p (x, y) et $,{x, y) = f(.r, .r) ;

d'où, éliminant la fonction marquée par <p k , après avoir pris les fonctions dérivées par rapport à y de la première équation, on aura

Ainsi, pour avoir la fonction FT[x, y) qui exprime la valeur ou la solidité du corps dont la surface est exprimée par l’équation

st=f(*, y),

il faudra prendre la double fonction primitive de f (.r, y) relativement

à x et à y.

78. On peut aussi parvenir directement à ce résultat par la considération suivante. Puisque F (x, y) représente, en général, la partie du corps qui répond aux coordonnées x, y , d est clair que F (x -h i, y) — F (x, y) sera le segment compris entre les plans perpendiculaires à celui des v,y, qui répondent aux abscisses x et x -t- /, et qui sont terminés par la même ordonnée y. Donc

sera l'excès du segment qui est terminé par l’ordonnée y -h o sur celui qui est terminé par l'ordonnée y ; et il est visible que cette différence n’est autre chose qu’un prisme dont la base est le rectangle iv, dont les arêtes sont les ordonnées z de la surfâce qui répondent aux

quatre angles de ce rectangle, c'est-à-dire les ordonnées f(.r, y), f(x -+-’ I, y), f (x, y h- o) , f (x -f- i, jr-t- o), et dont la base supérieure est la partie de' la surface interceptée entre ces quatre ordonnées: Or il est facile de voir que la solidité de ce prisme curviligne est nécessairement comprise entre celles des deux prismes rectangulaires dont la base est la même io, et dont les hauteurs sont la plus petite et la plus grande des quatre ordonnées dont nous Venons de parler. Donc il faudra que la fonction F (.r, y) soit telle que la valeur de la quantité.

soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite valeur des quantités

iof (x, .r), <of(x -f- i, y), io f (x, y -f- o), iof(x i, y -+• o) ,

quelque petites que soient les valenrs de i et o.

Développons les fonctions marquées par F suivant les formulas du n° 78 de la première partie. En poussant laxprécision jusqu'aux troisièmes dimensions de i et o, on 1m ra la quantité

ioF (x, y) -4- F" (x -+- Ai", y -t- ho) -4- — F* (x -+- hi, y -+■ ho) t f F*(x -t- Ai, y -1- Ao) — F**(x -4- Ai, >') j

Développons de même les fonctions marquées par fumais en s’arrêtant aux premières dimensions de i et o, à cause qu elles sont déjà multipliées par io ; on aura les quatre quantités

iof (x, y), ' ' .

tof(x, y) -4- i'of'(x -f- Ai, y),

iof t.r, r) -4- io* f, (x, y-t- Ao), f

iof (x, y) i J of'(x-H Ai, y) -+- io* f, (x, y h- Ao),

et il faudra que la première quantité soit renfermée entre la plus grande