DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE QUATORZIEME. lo r

et h» plus petite de ces quatre dernières, en prenant pour i et o des quantités aussi petites que l’on voudra. Le coefficient A peut être différent dans les différentes fonctions, mais il doit être renfermé entre les limites o et i . • -

Or la différence de l’une à l’autre de celles-ci rat, comme l’on voit, de l’ordre de i*o ou de io', c’est-à-dire du troisième ordre, en regardant i et o comme très-petites du premier. Mais la différence entre la première quantité et l'une quelconque «les quatre dernières rat

io\ F (x, y) — f(x, .))],

avec des termes du troisième ordre ; donc, pour que cette différence

soit toujours jilus petite que la différence précédente, qui n’est quetlu troisième ordre, il rat nécessaire que le premiêr terme, qui est du second ordre, soit nul ; ^autrement il serait possible de prendre les accroissements i et <> assez petits pour que ce premier terme surpassât tous les termes du troisième ordre, et que, ..par conséquent, la première quantité tombe hors des limites formées par les quatre autres quantités. Il faudra donc que l’on ait

io [ F (x, y) — f (x, j)J = o, •

* t " ’f JL

et, par conséquent, * „

f,' (*> jU »

comme nous I avons trouvé plusdiaut.

79. Supposons maintenant que la fonction F (x, y) représente la mesure de la surface. Dans ce cas, il est clair que la quantité

F (x -h i, y -+- o) — F (x -f- i, rj — F (x, y -t -*>) -t- F(x, y)

représentera la portion de surface comprise entre les quatre faces du prisme droit qui a io pour base.

Imaginons qu’aux extrémités des quatre ordonnées qui forment les arêtes de ce prisme, on mène quatre plans tangents a la surface dans ces points; 011 pourra prouver, par un raisonnement analogue à celui

3* éd. ■ 3g

du n" 29 relatif aux tangentes, que la portion de surface qui forme la base supérieure do prisme sera comprise entre la plus grande et la plus petite section du prisme, faites par les quatre plans tangents de la surface courbe

Soit * l’angle que le plan tangent à l’extrémité de l'ordonnée z fait avec, l’axe des x, y, on aura (n° 39)

tanga = \Jz'-y z*.

Or on sait, par la géométrie, que la mesure de la projection d’un plan est égale à celle de ee plan multipliée par le cosinus de son inclinaison sur le plan de projection. Donc, puisque les sections du prisme dont il s'agit ont toutes pour projection le même rectangle io, là mesure de la section faite par le plan qui touche la surface à l’extrémité de

l'ordonnée z sera ; niais on a

cosar » ■ " - . •

COS fit =

donc la mesure de cette section sera io ^ i -4- z'* -+- 2 a , savoir, en

substituant f(x, y) à z, io y i -H f'(x, /)’-+- f, (x, y)\

Faisons, pour abréger,

on aura io<p(jr, y) pour la mesure «de la section dont il s’agit; et, mettant .r + (, J + o à la place de .r, y, on aura celle des sections faites par les trois autres plans qui touchent la surface aux extrémités des ordonnées F ( j? -J— i, y), f (x, y -y o) et f (x -+- i, y -y o). Donc il faudra que la quantité •

F (x + ij+«)-F(r + t, /) tr F (x, y + o) + F (x, j)

soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite des quatre quantités •

me(x, y), i'xp(.r -y i, > ), m<p(x, y -y o), . to?(x -+- i, y -y or);