DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE QUATORZIEME.- 3o

et par une analyse semblable à celle du numéro précédent, on en conclura la condition

F' {-r. y) = <p (** jO = >/• -t- y'Ÿ -+- f,(*, jjV

80. On voit par là <jue l’ordonnée z d’une surface est la double fonction prime prise par rapport à x et y de la fonction qui exprime le volume ou la solidité du corps, et que la quantité y n- z' 1 -t- z ! est la double fonction prime de la fonction qui exprime la surfiice ellemême.

Ainsi l’ordonnée z étant donnée en fonction de x et y, il faudra prendre sa double fonction primitive pour avoir la solidité, et la double fonction primitive de y / 1 z'’-t- z* pour avoir la surface. On

est libre de commencer par la fonction primitive relative à ,r ou à y: mais la première fonction primitive admettra pour constante une fonction de l’autre variable que l ob aura regardée comme constante, et il faudra déterminer cette fonction conformément aux limites données de la surface. On déterminera ensuite, d’après ces limites, la première variable en fonction dé la seconde, par rapport à laquelle on, prendra de nouveau la fonction primitive. •

8t. Si, pour faciliter la recherche des doubles fonctions primitives, ou pour d’autres vues, on voulait changer les variables .r, r en d’autres variables t et u, dont celles-là seraient des fonctions données, il faudrait, par les principes établis dans la première partie (n“ 50), multiplier d’abord les fonctions regardées comme dérivées doubles par c'y'; mais ensuite on- ne pourrait pas substituer immédiatement les valeurs de .r', y' en t' et u\ parce qii’en. prenant la fonction primitive par rapport à l’une des variables, l’autre doit être regardée comme constante.

Soit f (.r, y) la fonction dont il s’agit d’avoir la double fonction primitive ; pour changer les variables x , y en d’autres variables t et «, on la mettra d’abord sous la forme x’y'S(x, y). Supposons qu’à la place de la variable rr, par rapport à laquelle on veut prendre d’abord la fonction primitive en regardant y comme constante, on substitue

une fonction donnée de t et de y, t étant une nouvelle variable qui remplacera x. .

Soit x = i p (t, r)> on aura, en ne faisant varier que t,

et la fonction proposée deviendra

dont il faudra prendre la fonction primitive par rapport à t. y étant regardée comme constante, et ensuite par rapport à r, t étant regardée comme constante. Or on peut aussi substituer à la place de .y' une autre variable u, et supposer, puisque t est à son égard constante.

* • . , . • li-

re qui donnera, en ne faisant varier que «,

Ainsi la Jonction proposée deviendra

laquelle ne renferme plus que t et «, à cause de

x = tp(t, y), y = 4 (*> »)>

et dont 011 pourra prendre la double fonction. primitive par rapport à t et S u. ' . *

Puisque x = ip (t, y) et y = 4 (*» »)» on aura, après la substitution de y, X égale à une sinjple fonction de / , et u que nous dénoterons par x (t, u), de manière que les transformations de x et y en t et u seront représentées par

, x = *(&«), y = 4<(, uf.

Or l’équation identique <p (t, y) = ÿ (t, u) donne, en faisant varier