DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE QUATORZIÈME. 3o

séparément t et «,

éliminant ç'(y), on aura

:*'<«> = m -i!fâp,

et cette valeur, étant substituée dans la dernière transformée de Ja fonction proposée, donnera

que l’on peut mettre sous cette forme plus simple,

dans laquelle .r et y peuvent être des fonctions quelconques de t et u, et où les traits supérieurs indiquent les fonctions dérivées par rapport à f, et les inférieurs indiquent les dérivées par rapport à u.

82. Ainsi, en regardant r; comme une fonction de x et y donnée par la nature de la surface du corps, et supposant que l’on substitue à la place de x, y des fonctions quelconques de t et «, la solidité ou le volume du corps et sa surface seront représentés par les doubles fonctions primitives relatives à t et u des formules

«r, — x,ÿ) z et * (x’y, - x,/) y/ H- (z')*

où il faut remarquer que les fonctions dérivées de z doivent être prises par rapport à .r et y; mais, si l’on substitue tout de suite dans z, pour .v et y, leurs valeurs en t et u, il est clair que z deviendra une simple fonction de t et u ; et voici comment on pourra exprimer les dérivées de z par rapport à x et y par ses dérivées par rapport à t et u.

Pour distinguer ces dérivées les unes des autres, nous renfermerons les premières entre de| parenthèses. Ainsi (s') et (s,) désigneront les dérivées de z prises par rapport à x et j, et z', z, désigneront simplement les dérivées de z prises par rapport à t et u, après la substitution

il O

des valeurs de .c, y en t et u dans l’expression de z. En regardant donc z comme fonction de x, y, et x, y comme fonctions de t, u, et prenant les dérivées séparément par rapport à t et à u, on aura, par les principes établis dans la première partie,

d où l'on tire