DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE QUATORZIÈME. 3 1 I

solde quelconque dont les trois demi-axes soient a, b, c ; l’équation de sa surface entre les trois coordonnées rectangles x, y, z, parallèles aux demi-axes a, b, c, sera représentée ainsi:

d'où l’on aura z en fonction de x et y.

.Mais on évitera l’irrationalité de : en prenant deux angles indéterminés t et u, et en faisant

x = a sin t cos u, y = ftsin t sin u, • z==ceosfj

et, pour avoir le volume et la surface de tout 1’ellipsoide, il suffira, après les substitutions, de prendre les fonctions primitives séparément par rapport à / et u, depuis t = o jusqu'à t égal à deux angles droits, et depuis u — o jusqu'à u égal à quatre angles droits ; car cette transformation des coordonnées de l’ellipsoïde, que M. lvori parait avoir employée le premier pour faciliter le calcul de l'attraction de ce solide {Transactions philosophiques de 1809, vol. XI), a l’avantage de rendre indépendantes les fonctions primitives relatives à t et u , lorsque la double fonction primitive doit s’étendre à la surface entière.

En prenant les fonctions dérivées des x, y, s par rapport à t et à «. on aura -

■v' = a cos t cos u, y' — b cos t sin u, z' = — c sin t ,

x, — — « sin t sin u, y f — b sin t cos u, z, = o;

et de là on aura

x'y r — x,y' — ab sin t cos f,

z'x, — z f x’ — ac sin sin u, z' y t — z r y' = — Ac sin t’ cos « ;

de sorte que les formules pour le volume et pour la surface de l'ellipsoïde deviendront

afic sin t cos t * , sin t i^a'b 1 cosl 1 -4- c’ («r sin ir -+- //’ cos «■ jsint’,

THÉORIE DES PONCTIONS.

dont il faudra prendre les fonctions primitives, depuis t — o jusqu'à t — 7r, et depuis u — o jusqu’à u — a^r, yr étant la demi-péripliérie.

85. Considérons d’abord la formule abc sin t cos t 3 pour le volume. En substituant i — sin t 3 à la place de cos t 3 , et ensuite |sinf — | sin \t au lieu de sin t 3 , elle devient

^(sin< -+- sin3f),

dont la fonction primitive, prise de manière qu'elle commence où t — o, est

abc l . i — cos 3t \

Faisant l — yr, ce qui donne cosf = — i et cos 3 1 — — i , elle se réduit . a abc »

Il faut prendre encore la fonction primitive de celle-ci par rapport à u depuis u = o jusqu'à u = et, comme la variable u , dont la fonction prime est i , ne s'y trouve pas, il. n’y aura qu’à multiplier simplement par 27T, ce qui donnera - a ^ C tt pour 1» solidité ou le volume du sphéroïde entier dont «, b , c sont les trois demi-axes.

86. Venons à la formule relative à la surface, et supposons d’abord, pour la simplifier, « = b, ce qui donne un sphéroïde de révolution autour de Taxe ac ; elle deviendra

a sinf ^b 3 cos t 3 •+■ c 3 sin t 3 ,

où l’on voitque l’angle u a disparu ; je conserve la lettre b sous le signe, pour plus de généralité.

Faisons eos t = s. on aura sin t = — j’; d’ailleurs on a sin t 1 — i — s 3 ; on aura ainsi la transformée

— as' y'c 3 -I- (b 3 — c 3 ) s 3 .

dont il faudra prendre la fonction primitive depuis s = i jusqu'à