CHAPITRE QUATORZIEME

Soit b % — c* — e 1 , on aura la fonction primitive par rapport à s,

— Y\Z C ’ e * s% ■+■“*( — «<M- v/c*«-4-eV); faisant j = i , elle se réduit à

.' ab ac * ... .

1 lé — e);

et faisant s — — i , elle devient

Donc la fonction primitive complète, relativement à s ou à t, sera

ab + ^\ï+ e

ab

ac' 2 c

Il faut de nouveau en prendre la fonction primitive relative à «, et comme la variable u ne s’y trouve pas, on se contentera de la multiplier par a7 t ; et faisant maintenant b = a, on aura pour la surface entière du sphéroïde formé par la révolution d’une ellipse dont les demi-axes sont a et c, autour du petit axe ac, la formule

où e est l’excentricité = — c*. •

Pour que la valeur de e soit réelle, il faut que a > c, et, par conséquent, que le sphéroïde soit aplati et formé par la révolution de l’ellipse autour de son petit axe ac.

Si l’on voulait avoir la surface d’un sphéroïde allongé, formé par la révolution d’une ellipse autour île son grand axe, il faudrait prendre ac pour son grand axe ; alors la valeur de e deviendrait imaginaire. Soit, pour ce cas, c* — a* — E 1 , on aura . .

et, passant des logarithmes imaginaires aux arcs réels, par les formules 3* <w. 4o

du n°22 ( première partie), on aura pour la surface cherchée la formule

•Jt7rq r -h • angle ( tang •

87 Si l’on n’avait pas fait a— b, et que l’on eût supposé, en général.

a * si n w* -4- A * cos « *

on eût eu, pour la fonction primitive relative à t, la formule

ou

ab

et il aurait été impossible, dans l’état actuel de l'analyse, de trouver ta fonction primitive de celle-ci relative a u. Mais on peut toujours avoir cette fonction par approximation, lorsqvie la différence des demi? axes a et b est assez petite.

la - b'— a' . . . , ;* . . ,

soit - — — = i; cette quantité étant positive ou négative, la quan-

tité V* deviendra i -t- i cos et il n'y aura qu’à mettre dans la formule précédente, c* (i -+• i cos u‘) à la place de c’V*, ensuite développer par rapport à i. Donc, si l’on suppose

ac ' | c* = j , ,,

ayî* — c* h — jb'—c' ' h

on aura, en développant par les fonctions dérivées relatives à c’, la série - ” ,

ab -+- f(c*) 4- f'(c s ) c 1 / cos «’-t- c'/’ 1 cosm'

-f os^-f- ... ,

dont il faudra prendre les fonctions primitives relatives à u, depuis «■= o' jusqu'à u — ‘i-n.

Désignons pàr a-ra, .. 2 t|5, 2 iry. etc., les fonctions primitives de eos u 2 , cosm*, cos u‘, etc., prises entre ces limites, on aura, pour la