TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE PREMIER

équation, les espaces parcourus sont toujours proportionnels aux temps écoulés depuis le commencement du mouvement ; ce qui est la propriété du mouvement que l’on appelle uniforme. La constante a, qui exprime le rapport de l’espace au temps, est la mesure de ce que l’on nomme la vitesse; c'est le seul élément qui entre dans cette espèce de mouvement, et par lequel un mouvement uniforme diffère d'un autre mouvement uniforme.

L’observation et l’expérience nous font voir qu’un corps mis en mouvement d’une manière quelconque, si l’on écarte toutes les causes d’altération qui peuvent agir sur lui, continue à se mouvoir de luimême d’un mouvement rectiligne et uniforme ; d’où il suit que la vitesse, une fois imprimée, se conserve toujours la même, et suivant lu même direction : c’est en quoi consiste la loi du mouvement.

Si l’on représente le temps par l’abscisse, et l’espace parcouru par l’ordonnée d’une ligne, il est clair que cette ligne sera pour le mouvement uniforme une droite passant par l’origine des abscisses, et que la tangente de. l’angle qu elle fait avec l’axe sera la mesure de la vitesse du mouvement.

2. La fonction de t la plus simple après at, est bt 2 \ en prenant cette expression pour f t, on aura une autre espèce de mouvement rectiligne représenté par l’équation x = ht' 1 , dans laquelle les espaces parcourus depuis l’origine du mouvement sont proportionnels aux carrés du temps.

L’observation et l’êxpérience nous présentent aussi journellement ce mouvement dans les corps qui tombent par leur pesanteur, en faisant abstraction de la résistance de l’air, et de toute autre cause étrangère d'altération. La constante b, qui est le seul élément qui entre dans la constitution de ce mouvement, est la même pour tous les corps dan» le même lieu de la terre, et dépend de la force de la gravité qui le produit et qui agit sans cesse de la même manière sur le mobile. Ainsi, ce mouvement ne se continue qu'en vertu delà force, que l’on peut regardér comme une cause extérieure agissant continuellement sur le corps, et dont le coefficient b est la mesure.

Comme dans ce mouvement les espaces augmentent en plus grande raison que les temps, on le nomme mouvement accéléré, et, en particulier, on appelle celui dont il s'agit, uniformément accéléré , par la raison que nous verrons dans un moment.

Si l'on représente ici le temps par l’abscisse, et l'espace parcouru par l'ordonnée d’une courbe, on voit nue cette courbe sera une parabole dont le paramètre sera -, , et dont l’axe principal sera l'axe des ordonnées >•.

Le mouvement le plus simple, après celui que nous venons de considérer, serait celui où l'on aurait x = et 3 ; mais la nature ne nous offre aucun mouvement simple de cette espèce, ca nons ignorons ce que le coefficient c pourrait représenter, en le considérant d’une manière absolue et indépendante des vitesses et des forces.

Ce sont là les mouvements simples dont toutes, les autres espèces de mouvement peuvent être regardées comme composées ; et l’art de la mécanique consiste dans cette composition et décomposition, d’où résultent les rapports entre les temps, les espaces, les vitesses et les forces.

3. Si l’on réunit les deux espèces de mouvement «pic nous venons

de considérer, on aura le mouvement représenté par l’écpiation

. y x = at -+- bi 1 , .

qui sera, par conséquent, composé d’un mouvement uniforme et d’un mouvement uniformément accéléré, et qui résultera de la réunion des deux causes qui peuvent produire chacun d’eux en particulier, c’est-àdire d’une vitesse proportionnelle à a, primitivement imprimée, et d’une force accélératrice proportionnelle à b, agissant continuellement sur le mobile.

La nature nous offre aussi la composition de ces deux mouvements dans les corps pesants lancés verticalement de haut en bas, ou de bas èn haut, en faisant abstraction de la résistance de l’air, et de toute autre cause étrangère. Dans les corps lancés verticalement de haut en bas, la force b agit dans la direction même du mouvement, comme

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nous le supposons; mais, dans les corps lancés verticalement de bas ep liaut, la force b agit en sens contraire, et devient, par conséquent, négative; elle tend ainsi à retarder le mouvement du corps, et. s’appelle alors force retartlatrice. Le mouvement lui-même s’appelle, dans ce cas, uniformément retardé.

I /observation nous fait voir que, dans la composition de ces deux mouvements, chacun d’eux se conserve comme s’il était seul dans le mobile, de manière que l’espace parcouru, au bout d’un temps quelconque, est exactement la somme ou la différence des espaces que le mobile aurait parcourus séparément, en vertu des deux causes qui produisent les deux mouvements; de sorte que le résultat , c'est-à-dire l'espace parcouru, est le même que si les deux mouvements avaient lien séparément et successivement.

i. Considérons maintenant un mouvement rectiligne quelconque représenté par l'équation .r = IV, f t étant une fonction quelconque de t. Au bout du temps t, le mobile aura parcouru l’espace fV; et au bout du temps t -+- 9, il aura parcouru l’espace f (t -+■ 9) : par conséquent, la différence f (t -+- fl) — ft sera l’espace parcouru pendant fe temps 9, qui a commencé à l’instant oii le temps / a fini. La fonction f (t -i- 9), étant développée suivant les puissances de 9, devient

fvV 9Ct -+- !r»+ ... %

comme on l’a vu dans la première partie: donc l'espace parcouru durant le temps 9 sera représenté par la formule

«r* -t- - n -+- - 5 rv -+- ....

dans laquelle le temps t écoulé avant le temps 9 est maintenant regardé comme une constante. Ainsi le mouvement par lequel cet espace est parcouru sera composé de différents mouvements partiels, dont

les espaces répondant au temps 9, seront 9f 't, — f"t, ^ f"7, etc. ; et l’on voit que le premier de ces mouvements partiels sera uniforme

>3ao

avec une vitesse mesurée par ï't ( n° 2), et que le second sera uniformément accéléré et dû à une force accélératrice proportionnelle à \î"t (n° 3). A l'égard des autres, comme ils ne se rapportent à aucun mouvement simple connu, il ne sera pas nécessaire de les considérer eu particulier, et nous allons faire voir que l’on peut en faire abstraction dans la détermination du mouvement au commencement du temps S.

En effet, si l’on développe la fonction f (f - 4 - 9) par notre formule générale de la première partie ( n°* 40, 78), On aura

ft + Sf'i -+- ? f r t + ( n (t -4- Afl),

A étant un coefficient inconnu dont la valeur est nécessairement comprise entre o et i ; de sorte «pie l’espace parcouru dans le temps 9 sera exprimé exactement par la formule

9n -h 6 'n-h il Hf h- A fl).

Les deux premiers ternies représentent, comme l’on voit, le mouvement compté d’uniforme et d’uniformément accéléré; le troisième représente la totalité des deux autres mouvements qui se combinent avec celui-là, et qui empêchent le vrai mouvement d’être un simple résultat de ces deux. Mais j’observe que l’on peut prendre 9 assez

petit pour que le mouvement composé des deux termes 9f ’t -+- — f " t

approclie plus du véritable mouvement «jue ne pourrait faire tout autre mouvement composé d’un mouvement uniforme et d’un mouvement uniformément accéléré : car la différence des espaces parcourus pendant le temps 9, par le mouvement composé dont il s’agit, et par le

véritable mouvement, sera exprimée par f m (t -f- a 9) ; mais K espace

parcouru par tout autre mouvement composé d’un uniforme et d’un uniformément accéléré, étant représenté par «9 -t- ê9 J ( n° 3 ), la différence entre cet espace et le véritable espace parcouru sera

9 {ft a) r+- 9’ (i ft - A) -f- ~ f ”(t -+- Afl) ;