PREMIÈRE PARTIR. — CHAPITRE TROISIÈME

Dans le système des logarithmes ordinaires, la Iwse « a été prise égale à 10 , parce que ces logarithmes sont plus commodes pour le calcul arithmétique; mais, dans l’analyse, on préfère, comme plus simple, le système dont la base est le nombre c; c’est le système des logarithmes de Néper, que l'on nomme communément logarithmes hyperboliques , parce qu’ils sont représentés par l’aire de l’hyperbole équilatère entre ses asymptotes, et on les désigne par la simple caractéristique 1. Ainsi, on a A — la; par conséquent, la fonction prime de la fonction a? est exprimée par af\a (numéro précédent).

Au reste, comme a = e A , on aura a — e'“ , et, par conséquent, a 1 — moyennant quoi l’on peut réduire toutes les exponentielles à la même base e.

15. Soit, en troisième lieu, £r — log.r; on aura, par la nature des logarithmes, x — a u . Or, .r devenant x -f- i, £r devient

f(.r -+- 1 ) = Cr -I- tf'.r -h - P'.r -f- *

Faisant, pour abréger, o — if'x H — f "r l’équation u u

* ’ * . ’ deviendra , en y mettant x -y i pour x r et £r -y o pour fr,

et, divisant cette équation par la précédente, ou aura i a*o*

i -y - = a° = i Ao h — h . . . (numéro précédent) . .•

Effaçant l'unité de part et d’autre, et divisant par /, après avoir substitué la valeur de o, on aura, en ordonnant suivant les puissances de »,

^ A= Cx -i- ^ (Af*x -f- A’f'x) -y

La (|uantité i étant et devant demeurer indéterminée , il faudra que cette équation se vérifie indépendamment de cette quantité; par conséquent, tous les termes affectés d’une même puissance de i devront

se détruire d’eux-mèmes, et former autant d'équations à part. On aura donc ainsi

1 — Ar.r, Af".r 4 - A’f'.r = o,

et ainsi de suite.

Donc, £r étant égal àlogx, on aura, en général,

gt i i

,l Ax xla ’ • '

et de là, parla formule générale du n° 10, on tirera

» ï x'ia x la

f "x “ jp t etc . ,

x*la

valeurs qui satisfont, comme l’on voit, aux différentes équations trouvées ci-dessus. Ainsi, par la substitution de ces valeurs dans la

série Cr - 4 - if'x 4 - — f ff .r 4 - ..., on aura sur-le-champ

Faisant x — 1 , changeant i en x, on aura la formule connue

X’ XH

log(i +.*)?= Va .

Pour tes logarithmes hyperboliques où le = 1 , on aura simplement

* ; Cr=Lr, „ f'x = - , etc.

14. Les sinus et cosinus d’angles considérés analytiquement ne sont que des expressions composées d’exponentielles imaginaires ; ainsi on peut déduire leurs fonctions dérivées de celles de ces ex]>onentielles. ", ‘

Soit donc, en quatrième lieu , f.r = sin.r; comme on a e ,*Cf e -,/=T

Sin X :