COS X

,yCT -x^-.

on trouvera

r,-‘ wg -»- ,P Vn

sinx.

Connaissant ainsi les fonctions primes des fonctions sinx, cosx, on en déduira facilement toutes les autres fonctions dérivées.

En effet, puisque fx = sin x a donné f 'x = cos x, et que fx = cos v a donné f'x — ■ — sinx, on aura, pour fx = sinx,

f'.r = cosx, f "x = — sinx, f w x== — cosx, f'’x=sinx, etc.;

et pour fx = cos x,

Px = — sinx, f "r == — cosx, f w x=sinx, f IT x = cosx, etc.

D'après ces formules, on aura sur-le-champ les séries

sin (x-M) =sinx4-tcosx sinx 5 cosx H — r-xsinx -+-... ,

cos (.r 2= cosj: — i sin *r — — cos*r H 5 sm .r H — ■ cosx — ... ;

d’où, en faisant x = o, et changeant i en x, on tire les sériés connues

sin x = x 1 -+

cos x = i —

15. Les fonctions x-”, a?, U, sin x, cosx, que nous venons de considérer, doivent être regardées comme les fonctions simples ana- 3* êd. • 4

lytiques d’une seule variable. Toutes les autres fonctions de la meme variable se composent de celles-là par addition, soustraction, multiplication ou division, ou sont données, en général, par des équations dans lesquelles entrent des fonctions de ces mêmes formes. \insi, connaissant les fonctions primes des fonctions simples que nous venons d’examiner, on trouvera aisément les fonctions primes des fonctions composées, et par les mêmes opérations répétées, on aura successivement les fonctions secondes, tierces, etc.

Soient /j, q, r, etc. , des fonctions simples de .r, dont p', q’, r', etc. , soient les fonctions primes, connues par les règles précédentes, et supposons qu'on demande la fonction prime /'d’une fonction / composée de p , q, r , etc. ; on considérera que x devenant .r -t- 1 , y devient , en

général, y y'i -b - — — -f- ... (n° 9). Or p, q, r, etc., deviennent en

même temps p -f- p'i-\- ..., q -t- q'i -+- ..., r +r'i+ . . ., et ainsi des autres. Il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de r, développer les termes suivant les puissances de i, et le coefficient de i sera la valeur cherchée de y'.

Ainsi, si y = ap -t- kq ..., a, b, etc., étant des coefficients

constants quelconques, on aura sur-le-champ

y = ap -+- bq - 4 -

Si y = apq, la quantité pq deviendra

{p -4- ÿ/-f- ...) (q -b iq -h ...) = pq -4- i(p'q 4- q'p) -b-..;, donc

y' — apq atf'p.

Si y — apqr, on trouvera de la même manière y' = ap'qr aq'pr -4- ar'pq,

et ainsi de suite. ' *.

Si / = la quantité - deviendra - • . *. •'

p + îp'+ ‘ *

rj+iq'