TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE TROISIEME

accélératrice et sa direction à chaque instant; et réciproquement, connaissant la force P avec les angles A, m, », on aura trois équations du second ordre qui serviront à déterminer x, y et z en t. F .es problèmes de la première espèce ne dépendent que de l’analyse directe des fonctions, et sont, par conséquent , toujours résolubles; ceux de la seconde espèce dépendent de l'analyse inverse des fonctions, et sont sujets à toutes les difficultés de cette analyse.

Si le mobile était sollicité à la fois par deux forces accélératrices I’ et Q suivant des directions faisant, avec les axes des x, y, s, des angles A, /x, » pour la force P, et i r, p, <r pour la force Q, on aurait, par les formules des numéros cités,

x" — P cosA -+- Q cos -r, y" = P cos u -t- Q eosp, z" = P cos y -f- Q cos s- ;

et ainsi de suite, pour tel nombre de forces que l’on voudra.

13. Supposons (jue les directions des forces P, Q fassent, avec la

tangente de la courbe, les angles A, T, puisque, dans les formules du n° 11, les angles a, fi, y sont les mêmes que ceux de la tangente avec les trois axes, on aura, par la formule trouvée à la fin du n° 8,

cos A — cos a. cos A -f- cos 3 cos ,u -+- cos y cos », et «le même

cos r — cos a. cos t -+- cos fi cos p -+- cos y cos y.

Donc, multipliant les trois dernières équations du numéro précé«lent par cos a, cos fi, cos y, et les ajoutant ensemble, on aura

x" cos a. -4- »"cos fi -+- z"cos y = P cos A -i- Q cos r. Substituant pour cos a, cos fi, cos y leurs valeurs ~ ~ ( n ° H),

et remarquant que — — : est la fonction prime de

yfx r *~- J r- y'* 4 - i 7 *, c'est-à-dire de r', que, jiar conséquent, cette quantité est égale à s'\ on aura l’équation

s" = P cos A -t- Qcos r,

qui est, comme l’on voit, semblable aux équations du mouvement rectiligne suivant les trois axes.

Cette équation sert à déterminer directement la vitesse réelle du corps cpii est exprimée par s'; et l’on voit que les forces perpendiculaires à la tangente n'influent en rien sur la vitesse, puisque les angles A, r étant alors droits, leurs cosinus sont nuis, ce qui détruit les termes dus à ces forces dans l'expression de s". D’où l’on peut conclure, en général, que lorsqu’un corps est contraint de se mouvoir dans un canal d’une figure donnée, comme l’action des parois du canal sur le corps ne peut s’exercer que perpendiculairement au canal même, la vitesse du corps ne sera nullement altérée par cette action. Au contraire, les forces qui agissent suivant la tangente produisent sur la vitesse leur plein et entier eflêt, comme si le mouvement du corps était rectiligne, puisque les angles A, r devenant nuis par ces forces, leurs cosinus sont égaux à l'unité.

14. La gravité et toutes les forces d attraction connues agissent également sur toutes les parties matérielles des corps, et produisent le même mouvement, abstraction faite de l’inégalité des forces, à raison des distances ; de sorte que l’effet de l'action «le ces forces est indépendant de la masse du corps nui, et est le même, par rapport à la vitesse imprimée, que si la masse était réduite à un point. Dans les attractions réciproques des corps, la force d’attraction est proportionnelle à la masse du corps attirant, paire que chacune de ses particules attire également; par conséquent, le mouvement absolu imprimé au corps attiré est simplement proportionnel à la masse du corps attirant.

Il n’en est pas de même des forces qui ne pénètrent point dans