troisième partie. — chapitre troisième
16. Dans ces équations, les coordonnées x, y, z sont regardées comme des fonctions du temps t. Pour avoir les équations mêmes de la courbe décrite par le corps, il faudra éliminer le temps, et réduire les coordonnées y et z à de simples fonctions de .r. Voici l ’esprit et le fondement de cette réduction.
En regardant les quantités x, y, z comme fonction de t , lorsque t devient t -+■ 9, ces quantités deviennent
fl»'-
JV
par les principes établis dans la première partie sur le développement des fonctions. .
En regardant, d'un autre côté, y et z comme fonctions de x, lorsque x devient x -t- i, ces mêmes quantités deviennent
y + Hy') + j (y')
Je renferme ici les quantités y', y ", etc. , z', z " , etc. , entre des parenthèses, pour les distinguer des mêmes quantités relatives à la première hypothèse.
Donc, si l’on fait
t = flx'-t--x'-H
il faudra que l’on ait, quel que soit fl, l’équation
* </) + 7 Lr") + ê (O + ••• = V + + O ^ +
et, de même ,
3' éd.
THEORIE DES EONCrrOSS.
et ainsi de suite; d’où ! on tire
, ..ms. y m —(jr')x*—'S(j‘')x'x v y” •' y J* 3yV
et ainsi de suite, lît l’on aura, par la seconde équation, des formules semblables pour (2'), (2"), etc. , en changeant seulement la lettre y en 2.
Ces formules s’accordent avec celles que nous avons trouvées, d’une autre manière, dans la première partie (n° oO ) ; car 011 voit que
(y") = HA etc.
L'analyse précédente est plus directe et résulte des premiers principes de la chose ; mais celle de l’endroit cité a l’avantage de faire voir la loi de la progression, car elle donne immédiatement
et ainsi de suite, en désignant par un trait appliqué aux parenthèses carrées, la fonction prime dé la quantité renfermée entre les parenthèses. - • ••'•. . ‘ : * ,
Par le moyen de ces formules, on pourra transformer les équations qui contiennent les fonctions dérivées x ' , x", etc. , y', y* . etc. , z , 2", etc. , relativement à t, en d'autres équations où il n’y ait que les fonctions dérivées (,/'), (,y"), etc., (2'). (2"), etc., relativement à x.
