CHAPITRE QUATRIÈME

De la question où il s'agit de trouver la résistance que le milieu doit opposer pour que le projectile décrive une courbe donnée. Analyse dé la solution que J\ ewton a donnée de ce problème dans la première édition de ses Principes. Source de i erreur de cette solution. Distinction entre la méthode des séries et celle des Jonctions dérivées, ou du calcul différentiel.

17 . Pour montrer l'usage des formules que nous venons de donner, supposons que l’on demande la résistance du milieu, en vertu de laquelle un corps pesant lancé dans ce milieu décrirait une courbe donnée. On regardera la résistance comme une force retardatrice qui agit dans la direction même du corps, c’est-à-dire dans celle de la tangente de la courbe; ainsi, en nommant r la résistance, c’est-à-dire l’action du milieu résistant sur la surface du corps, divisée par la masse même du corps, on aura — r cos a, — r cos|3, — r cos y pour les forces accélératrices qui en résultent suivant les directions des axes des .r, y , s, les angles a, (3, y étant ceux de la tangente avec ces axes. De plus, si l’on nomme g la force accélératrice de la gravité, et que l’on prenne les coordonnées y verticales et dirigées de bas en haut, on aura — g pour la force accélératrice provenant de la gravitésuivant les coordonnées y.

Donc, les équations du mouvement seront

x” = — rcosa, y" = — g — reos £3, z" — — reos y;

jp' y Z*

substituant pour cos a, cos [i, cos-)', leurs valeurs -r-i — (n° 11),

où u, vitesse du corps, est = s' = ^x'* r*’ -+- z' 1 , on aura

celle-ci :

Il ‘ ° U

La première et la dernière donnent

rz

d'où l’on tire, en prenant les fonctions primitives,

2 — rnx -+- n,

m et n étant des constantes arbitraires. Cette équation, étant celle d’un plan vertical, fait voir que la courbe est nécessairement toute dans ce plan : ainsi, en prenant l’axe des x dans ce même plan, on aura 2=0 et z' — o, et les équations de la courbe se réduiront aux deux premières. Mais comme dans ces équations les variables x,y sont supposées fonctions du temps, et que, pour avoir l'équation de la courbe, on doit regarder y comme fonction de x, il faudra chercher ses fonctions dérivées dans cette hypothèse par les formules du numéro précédent.

Supposons, pour abréger, = q, on aura

substituant ces valeurs dans l'expression de ( y " ) du n° lt>, on aura

ainsi la valeur de q dépend de ( y Ir ). Or on a, par le même numéro.

mais connaissant les valeurs de x"' et y", il n’y aura qu’à prendre