TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE QUATRIÈME

leurs fonctions primes pour avoir celles de tr" et jr m , et l'on trouvera , en désignant par q' la fonction prime de q,

X = — qx — q x =(fj — q )x ,

y" = — qy" — n'y' = qg-*~ (?‘ — q

Par ces substitutions, les deux premiers termes de la valeur de (>■*) donneront > et le terme — — ■ ■- - donnera — ; de sorte que l’on

aura (>•"') = — Or, q étant == - — ~

. mi fera celte substitu-

tion, et l’on en chassera x' et y' au moyen des équations {y' ) = y et (y*) = — y, ) lesi|uelles donneront

»'• = *'• y/TXT7r= ;

on aura ainsi

g'fi+UJ

Comme les fonctions dérivées (/'), (y"), (>' w ) se rapportent maintenant à la variable x, nous pouvons les représenter simplement par y',y",y m ; on aura donc

r r''Vi-br'\

Or, la courbe étant donnée, on a y en fonction de x: de là on tirera les fonctions dérivées y' , y" , y m ; et la formule précédente donnera, pour chaque point de la courbe, le rapport delà résistance à la gravité.

La vitesse u sera

= \jx ' 2 -t- y ' 2 = x' y' i -y ( y ' 2 )=

c'est-à-dire, en changeant Cf ) en />

'Ig\ , '+ y''

Pour traduire ces formules en calcul différentiel, il faudra changer y' en ^ , et y" en en prenant dx constant parce que ces fonctions dérivées sont ici relatives à la variable x.

Si l’on suppose la résistance proportionnelle au carré de la vitesse et à la densité du milieu, alors, nommant A cette densité dans un lieu quelconque, on aura r = mu* A, in étant un coefficient constant : donc, substituant la valeur de u,

et, mettant cette valeur dans l’équation ei-dessus, elle deviendra .

par où l’on déterminera la densité du milieu nécessaire pour faire décrire la courbe donnée. Réciproquement, cette équation servira à déterminer la courbe lorsque la densité du milieu sera donnée.

Pour les projectiles lancés dans l’air, on peut supposer la densité

du milieu constante: ainsi faisant, pour plus de simplicité, 2mA = * « l’équation de la courbe sera

Ni «

’pr = Æ y/ 1 -t- >■ 1 = &>■ ,

s étant l’arc de la courbe; d'où l’on tire, en prenant les fonctions primitives,

y = Ad',

A étant une constante arbitraire: c'est la forme la plus simple sous laquelle puisse être mise l’équation de cette courbe. On peut tirer de ces équations les différentes approximations qui ont été données jusqu’ici pour la détermination de la courbe décrite par les boulets et les bombes ; mais les bornes de cet écrit nous empêchent d'entrer dans aucun détail sur ce sujet.