TROISIÈME PARTIE, r-r CHAPITRE QUATRIÈME
18 . Nous remarquerons encore que l’on aurait pli déduire tout de suite l'équation de la courbe, des équations du mouvement
x" = - rJ
par l’élimination immédiate du temps /. En effet, x et > étant fonctions det, on peut réciproquement regarder y et t comme fonctions de x; et par la règle donnée dans le n° 50 (première partie), si l’on regarde, en général, x, y, t comme fonctions d'une autre variable quelconque z, il faudra substituer y et à la place de x', y' ,
place de x , y" \ niais, en prenant x pour variable
principale à la place de t, on fera x' — i , et l’on aura à substituer
p et y, à la place de x' et y', et — ps et yj — J —pn à la place de X
Les deux équations deviendront donc, à cause de s' — \Jx ’ 2 -t- y ' 2 ,
nr
d’ou il faudra éliminer la fonction Substituant, dans la seconde équation, la valeur de -r , , tirée delà première, elle deviendra
divisant par y" , et prenant, de part et d’autre, les fonctions primes,
on aura
— pr —
valeur qui, étant substituée dans la première équation, donnera, comme plus haut,
A l’égard de la
— ; et, comme
deviendra
v — jr
vitesse « = s' — y^r'* -+ on vient de trouver t'
> comme ci-dessus.
deviendra la vitesse
Si ia force de la gravité g était variable, alors la valeur de ^ que l’on vient de trouver ne serait plus exacte ; car, en prenant les fonctions primes de l’équation , on aurait
St" ï
t r, — ~pr r *>
et la substitution de cette valeur donnerait
T - r"v i-t-.r'* j Js'i+y'
8 ‘ V’ *gjr”
Cette manière d’éliminer le temps dans les é(|uations du mouvement, pour avoir l'équation de la courbe décrite, est analogue à celle que l’on emploie dans le calcul différentiel; mais l’analyse du n° IG, fondée sur le développement des fonctions, est, à certains égards, plus directe; elle nous sera d’ailleurs utile pour découvrir, comme nous l’avons annoncé au commencement de eet écrit, la véritable source de la méprise où Newton est tombé dans la première édition des Principes, en résolvant le problème dont nous venons de nous occuper.
Quoiqu'il puisse paraître peu important de découvrir en quoi et comment Newton a pu se tromper dans une solution qu’il a ensuite lui-même abandonnée, néanmoins, comme tout ce qui u rapport à l’invention et aux premiers développements de l’analyse infinitésimale mérite l’attention de ceux qui s'intéressent à l’histoire des sciences, j’ai cru qu’on me saurait gré de discuter de nouveau ce sujet, comme un point qui n’a pas été assez éclairci, parce qu’il tient à une distinction subtile entre la méthode différentielle et la méthode des séries, que New ton a employée dans sa première solution ( liv. Il, prop. X ).
19 Voici la construction qui sert de fondement à cette solution.
TROISIEME l'ABTIE. — CHAPITRE QUATRIEME. j/|5
Le mot,ile «tant parvenu à un point quelconque de la courbe, sans la résistance et la gravité il décrirait, dans un temps donné très-petit, une partie très-petite de la tangente que nous désignerons par a; soit y le petit espace que la gravité lui ferait décrire dans le même temps perpendiculairement à 1 horizon, et p le petit espace dont la résistance diminue l’espace * parcouru sur la tangente ; il est clair que *. le rapport de p à y sera celui de la résistance à la gravité. Ainsi le corps, dans le temps qu’il aurait parcouru sur la tangente l'espace * — p, serait redescendu verticalement de la quantité y ; par conséquent, y sera la fléché de l are a — p. Maintenant, si l’on considère le corps comme partant du même point et rebroussant chemin pour décrire en sens contraire le même arc de courbe qu’il a parcouru, il faudra 1 regarder la résistance comme négative, et, par conséquent, comme une force qui accélère le mouvement au lieu de le retarder. Le mobile décrira ainsi, dans le meme temps très-petit, l’espace « -h p sur la même tangente dans une direction contraire, et descendra verticale^ ment par le même espace y, en vertu de la gravité. Par conséquent. y sera la flèche de l’arc «-Hp, pris de l’autre cSté du point de la courbe dont il s agit. Or, les flèches étant, pour les arcs infiniment petits, comme les carrés des arcs ou des tangentes, la flèche de la portion
» — p de l’arc a p sera y ; donc la différence des flèches
pour les arcs égaux a — p, pris de part et d autre du point donne de la courbe ? sera
Nommons cette différence <5, on aura
Êït t
et t —
9Ct
à cause que la petite ligne p, parcourue! d'un mouvement uniformément accéléré, est infiniment plus petite que la ligne a parcourue dans le même temps d’un mouvement uniforme.
Tel est ie raisonnement de Newton, présenté de la manière la plus
