troisième partie. — chapitre quatrième

trouvé ci-dessus ( n° 17 ) — •- — v J^- ) • D’où il suit que la solution de Newton est fautive.

11 est remarquable que si l’on substitue simplement y', y'", y"'. ou <7r’ Ær*’ pourQ, — R, — S, une un résultat exact: e est ce qui '

a fait croire aux Bernoulli, qui ont découvert les première l’erreur de New ton, et à tous ceux qui en ont parlé depuis que cette erreur venait de ce que New ton avait pris les termes de la série Qu — Ro 1 — So" — . . . , pour les différences premières, secondes et troisièmes de f ordonnée, tandis que ces termes ne sont égaux qu’à ces différences divisées par i , 2 , (J, etc. Mais il est facile de voir que la solution de New ton est indépendante de la considération de ces différences, et que la substitution des termes Ru 3 , Su 3 de la série dont il s’agit à la place des

quantités p e t - dans la formule ^ » est légitime ; ainsi l’erreur doit être

dans cette formule même qui donne le rapport de la résistance à la gravité ; et ce qui doit le prouver sans réplique, c’est que si la gravité était variable, la même formule aurait encore lieu, puisque dans les deux mouvements direct et rétrograde le corps est censé descendre verticalement de la même ligne y. Ainsi, dans ce cas, on devrait aussi avoir une solution exacte par la substitution de y’ , y " t y"' à la place de Q, — R, — S; ce qui n’est pas, comme on le voit par la valeur <

de que nous avons trouvée pour ce cas dans le numéro précédent.

20. Pour découvrir la source de l’erreur, nous allons réduire la solution de Newton en analyse. En nommant u la vitesse dans un point de la courbe, u9 est l’espace que le mobile parcourrait dans la tangente pendant le temps 9, sans la gravité et la résistance. Nommant g

la force absolue de la gravité, et r celle de la résistance, ® - et — seront

les espaces parcourus en vertu de ces forces regardées comme constantes pendant le temps 9 supposé très-petit. Ainsi, le corps aura

parcouru, suivant la tangente, l’espace u9 — — , et suivant l’ordonnée

» #</* , ' 4 * verticale l’espece—» lequel représente la flèche qui répond à la

rû*

tangente uQ — — • Supposons maintenant, comme Newton, que le

mobile rebrousse chemin avec la même vitesse u et sur la même tan- : % rT*

gente ; dans le temps T, il décrirait l’espace «T •+• — > parce que la

résistance doit être prise en sens contraire: c’est l’espace pris négativement qui répond au temps 9 — — T : et la flèche correspondante

serait ; et si l’on veut que les deux espaces décrits de part et d’autre soient égaux, comme Newton le suppose, on aura l'équation

rT*

l'on tire, aux 9* près,

Substituant cette valeur dans la Hèclie » elle devient <J , et

la différence des deux flèches sera®—; c est la quantité que nous

avons nommée ci-dessus S. D’un autre côté, il est clair que l’on a, * suivant les dénominations employées ci-dessus,

donc

tt — u9 —

r p Sa

de là, en faisant a=oy/i -+- Q’, et prenant Ho’ f- Su 1 , Rir — So* pour les deux flèches, ce qui donne y — Ro J , ^ == aSo% on a

r g üyi + O'

g y aft’

comme Newton l’a trouvé par sa construction.