TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE QUATRIÈME. 34g

21 . Maintenant il est aisé de voir que ce résultat vient des équa-

tions

— R,,’ So J ,

££ = R w »-So\

ou bien simplement de celles-ci:

rfr*

= oy/i Q’, Ro’+ So\

en prenant 9 et o positivement et négativement, ce qui revient à vérifier ces équations indépendamment de la valeur de o, qui, en effet, doit demeurer indéterminée, étant supposée très-petite.

La première équation donne, aux termes du troisième ordre près, 9 et o étant du premier,

u au*

Cette valeur étant substituée dans la seconde, on a, an quatrième ordre près,

gl vtffjg* -H = Ro 3 H- So%

au’ au*

et la comparaison des termes homogènes en o donne

a u* au*

De la première on tire u 3 = > et cette valeur étant substituée

dans la seconde, on a le résultat de Newton,

g aR*

Mais nous devons remarquer que ce dernier résultat étant tiré de la comparaison des termes affectés de o* dans la transformée de l’équa-

35o • irü*

tion -- == Ro* -+- So 3 ne saurait être exact, parce que le premier

membre de cette équation, qui est l’expression de la flèche en temps, n’est lui-même exact qu’aux 9 3 près; de sorte qu’à la rigueur il n’y

a d’exact que le résultat R — tiré de la comparaison des •

ternies du second ordre. Pour avoir de cette manière la valeur exacte

de ' < en la déduisant des termes affectés de o*, il faudrait que l’ex-

pression de la flèche en 9 fi’it elle-même exacte jusqu’aux 9’; mais le terme qui devrait suivre n’étant pas donné immédiatement par

les principes de la mécanique, on ne peut le trouver que par la loi de la dérivation, de la manière suivante.

22. Puisque, suivant l’hypothèse de Newton (n° 19), .r croissant de o, r croît de Q o — Ro 3 — So 3 , etc. , et que o y n- Q 3 = «9 : -

et Ru 3 -t- So 3 — (numéro précédent), 9 étant l’accroissement du

temps /, correspondant à l’ accroissement o de l’abscisse x, il s'ensuit que, t devenant t - 1-9, .r devient

et v devient

r + 7 ^ ( (JL + f \5.

Or, en rapportant à t les fonctions dérivées .r’, x" , etc., y’ , y" , etc., lorsque t devient t -t- 9, x et y deviennent, en général,