PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE TROISIEME

Développant le dénominateur en séries par les règles connues, on

aura

16. Soit, en général, y = f p, en regardant ip comme une fonction primitive de p, sa fonction prime sera Cp; en sorte que p devenant p — f— o (j’emploie ici la quantité indéterminée o à la place de la quantité indéterminée i, qui désignera toujours l’augmentation indéterminée de x), f p deviendra (n° 8)

f p -+- ofp -f- f "p

Or, p étant une fonction de x , lorsque x devient x -f- i, p de-

vient (n° 8) p -f- ip' H donc faisant o = ip'-\~— p" ...,

f p deviendra, par la substitution de x-\- i à la place de x t

fp -4- ip’Cp -+- l -{p'*î"p -f- p v f'p)

par conséquent, on aura

d’oit résulte ce principe, que la fonction prime d'une fonction d’une quantité qui est elle-même une fonction d’une autre quantité, est égale au produit des fonctions primes des deux fonctions.

Supposons maintenant que y soit une fonction de p et de (/, que nous désignerons par f(p, q)\ il s’agit de substituer x -y i à la place de x dans les deux fonctions p et tj. C)r il est visible que l’on doit avoir le même résultat, que l'on fasse ces deux substitutions à la fois ou successivement, puisque les quantités p et r/ sont regardées comme indépendantes.

F.n substituant d’abord r + ia la place de ,r dans la fonction p, la

THÉORIE DBS PONCTIONS.

(onction f (p, q), regardée seulement comme fonction de p, devient

j’écris simplement f '(p) pour désigner la fonction prime de f(p,q), prise relativement à p seul, q étant regardée comme constante. Substituons maintenant x-\-i à x dans q , la fonction f (p, q) deviendra pareillement

f(p, q) -+- ùj'i' (q) -+- ...,

où f' (q) représente la fonction prime de f {p, q), prise relativement à ■ y seul, p étant regardée comme constante. Quant au terme ip'î' (p), il est visible que, par cette nouvelle substitution, il se trouverait augmenté de termes multipliés par / J , i ’, etc. Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement def(/>, q), après la substitution de x -H*pour.r,serontsimplement f(/»,y)-f-i[ p’?{p)-\-q'i'(q)\; de sorte qu’on aura

y = p'f'(p) q'f'iq).

Si y était une fonction de p , q , r, représentée par f (p, q , r), on trouverait de la même manière

X'—pT(p) -+- q'f'(q)

rT(r),

et ainsi de suite. ' •

D’où il est aisé de Tifer cette conclusion génértde, que la kmction prime d’une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions primes relatives à chacune de ccs mêmes fonctions, considérées séparément et indépendamment l’une «le l’autre.

Ce principe, combiné avec le précédent, suffira pour trouver les (onctions primes de tèùtes sortes de fonctions, ainsi que les autres fonctions dérivées des ordres supérieurs.

Ainsi, en supposants X une (onction quelconque de x, les fonctions primes de X"\ /X, «\ sin X, eos X, etc., seront

mX'

cosX, — X'sinX,

etc. ,