PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE TROISIEME

et leurs fonctions secondes

X"cos X — X'* sin X, — X"sin X — X' 5 cos X , etc. ,

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et ainsi de suite.

17 . Mais la fonction y pourrait n’ètre donnée que par une équation quelconque entre x et y. * ■

Représentons cette équation en général par F (x, y) = o, on aura, par la résolution, ) - égal à une certaine fonction de x, que l’on pourra désigner par là;; de sorte qu’en substituant tx pour y dans la fonction F {x, y), elle deviendra F (x, fr) , fonction de æ seul que nous désignerons par <px. Cette fonction de <p.v devra donc être nulle, quelle (pie soit la valeur de x ; donc elle le sera aussi en mettant x~hi pour x, quelle que soit la valeur de i. Mais, par cette substitution, <px devient

«.r-4- ùf'x-h — <p*ïc donc, pour que i puisse être une quantité

quelconque, il fendra que l’on ait séparément les équations <px <>, q'x = o, <p"xr— o, etc., dont la première est l’équation donnée, la seconde est sa fonction prime, la troisième sa fonction seconde, etc. «Or; puisque fx = F(-r, fir) = F (.ï, y) , <p'x sera la fonction prime de F (x, y) , y étant regardé comme fonction de x , et par le principe établi dans le numéro précédent, cette fonction prime sera' exprimée v par F'(<i’)-f-y'F'(y), k en désignant par F'(x) et F '.(/). les fonctions primes de la fonction F (x, y), prises relativement à r seul et à y seul. Donc l’équation F (x,y) = o donnera ' *.

d’où l’ojb.tire ■ > . „

Ayant ainsi la valeur de la fonction prime y' en fonction de x et y, on aura celle de y", en prenant la fonction prime de cette fonction , et ainsi de suite. \ ; > * ' >

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Il résulté de l’analyse précédente ce principe :

Lorsqu’on a une équation quelconque entre deux variables x, y, l'équation subsistera encore entre les fonctions primes de tous ses tenues, ainsi qu’entre leurs fonctions secondes , etc. Mous appellerons ces nouvelles équations, équations dérivées; et en particulier, équations primes, équations secondes, etc., celles qu’on obtient en prenant les fonctions primes , secondes, etc.

Si l'équation ne contenait qu’une seule variable qui dût demeurer indéterminée, ce qui a lieu dans les équations identiques, le même principe subsisterait, et l’on aurait également une équation prime, une équation seconde, etc., qui seraient aussi identiques.

Les leçons III , IV, V, VI et VII sur le calcul des fonctions renferment un commentaire sur le» principaux points que nous venons de traiter dans ee chapitre; on y trouvera des développements utiles et importants, et des applications nouvelles.