TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE SEPTIÈME

seront répulsives ou attractives, parce que les premières tendent à augmenter les distances p*q, etc., et les secondes à les diminuer.

4 ï. Si' les forces P, Q, etc., sont respectivement des fonctièns quelconques des distSiices p, q, etc., suivant lesquelles elles agissent; ce que l’on peut toujours supposer lorsque ces forces sont indépendantes les unes des autres, ou, en général, si les quantités P, Q, etc. , sont des fonctions de p, q , etc. /telles que la quantité P// 4- Q'/h-W 1 . soit la fonction prime d’une fonction de /?, q , etc., que nous désignerons par F (p, q ...), P équation primitive de l’équation ci-dessus

sera * * -

- Ma* ~t~ Ne* 4- ..■. == K 4- aF {p, q.

K étant une constante arbitraire ; et, dans ce cas, les forces P, Q, etc. , qui agissent suivant les lignes p, q J etc., seront représentées par les fonctions primes F'(ya), ¥'(q), etc.

Soient a, b, etc., les Valeurs de p, q, etc., dans un instant donné, et U, V, etc., les vitesse* de U, N, etc., dans cet instant, l’équation précédente rapportée à ce même instant donnera

MU* 4- NV" 4- — K.-f- a F (a,

d’où l’on tire .• , •

K = MU* 4- NV 1 ... — aF (a, b,..)-

* • fj; 7 ■

donc, substituant cette valeur, on aurad’éqùation générale

Ma* 4 -Jfp* 4 - | ..*.'=a^iy’ 4 -NV*-K ... 4 - aF (p,q ...)‘ — aF (a r b...).

■JH;

Cette équation renferme le primée de la conservation des forces vives pris dans toute sa généralité.’ Elle fait voir que la force vive totale du système ne dépend que des forces avives qui animent les corps, et de la position dès corps relativement aux centres de ces / forces; de sorte que, si, dans deux instants, les corps se trouvent à memes distances de ces centres, la somme de leurs forces vives sera aussi' la meme. .' , •••

J’entends par forces actives les forces que les corps exercent les uns sur les autres, et dont l’effet est de phanger leurs distances ou leurs positions respectives, comme les forces intrinsèques d’attraction ou île répulsion, les forces des ressorts placés entre les corps, etc. Au contraire, j’appelle forces passives les forces de résistance produites par les pressions des corps, les tensions des (ils oy des verges» etc., et dont l’effet est de maintenir les corps dans une même position, respective, et d’empêcher que les conditions du système ne soient violées. Ces forces passives ne contribuent en rien, comme l'on voit, à la production de la force vive; les forces activés seules l’augmentent ou la diminuent, comme elles feraient si les corps étaient mus librement, partaient des mêmes points et arrivaient aux mêmes points, en décrivant des lignes quelconques.

•43. Nous avons vu que la loi du mou ven vent du centre de gravité et celle des aires sont indépendantes de l'action mutuelle des corps, quelle que soit cette action, soit qu’elle vienne des forces passives ou actives; ainsi, à cet égard, 'ces deux lois ont une plus grande étendue que la loi de la conservation des forces vives, qui n’est indépendante que de l’action des forces passives. H résulte de là que cette dernière loi ne peut pas subsister, comme les deux premières, dans le cas où, par l’action mutuelle des corps, ou par la rencontre d'obstacles, il survient des changements brusques dans leurs mouvements, parce que ces changements sont ou peuvent toujours être regardés comme l’effet des forces actives de ressorts placés entre les corps, ou entre eux et les obstacles, et qui, en se contractant ou se dilatant très-peu, maintiennent la loi de continuité dans la variation des mouvements. La force vive des corps qui subissent ainsi desi changements brusques reçoit, à chacun de ces changements, une augmentation ou une diminution égale à la force vive que l’action de ces ressorts produirait si les corps n’étaient soumis qu’à cette action.

Ainsi, si les corps M, N, etc., viennent à se rencontrer, ou à rencontrer des obstacles, de manière qu'il en résulte des. changements brusques dans leurs mouvements, on pourra appliquer à ces corps,