TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE SEPTIÈME

pendant leur action, quelque courte qu’elle puisse être, la formule du numéro précédent; de sorte qu'en nommant tj, V, etc., leurs vitesses au commencement de l’action, u, v, etc., les vitesses à la fin de l’action, désignant, de plus, par a, b, etc:, les valeurs des distances p , y, etc., au commencement, et par a, (3, etc., leurs valeurs à la fin de la même action, on aura

MU’ + NV* -+- ... — Mm j — Ne’— ... = aF(«, b..'.) — ?.F («, ,9. . ,) ;

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ce qui montre que la différence des forces vives au commencement et à la fin de l'action sera

aF (a, b...) — aF (a, ,9...),

où l’on remarquera que, quoique les quantités a, ,S, etc-. , diffèrent trèspeu des quantités o, b, etc., la différence des fonctions semblables F (a, b...) et F (a, ]3...) peut avoir une valeur finie quelconque. s

■f i . Comme ees fonctions sont inconnues, on ne pourrait pas déterminer, de cette manière, la variation de la force vive; mais, dans les cas particuliers, on pourra la trouver d'après les conditions du problème.

Lorsque des corps se choquent, soit immédiatenient, soit par l’entremise de leviers ou de machines quelconques, si les corps sont parfaitement élastiques, la compression et la restitution se font suivant la même loi, et l’action est censée durer jusqu’à ce que les corps soient revenus, par la restitution du ressort, à la même position respective où la compression a comrpencé. . On aura donc pour ce cas, dans l’équation précédente,

a — a, (i = b, etc.,’

et, par conséquent,

d’où il suit que la force vive sera la même avant et après le choc : ce que l’on sàit depuis longtemps, mais dont on n’avait pas, que je sache, une démonstration simple et générale. v

An contraire, dans le choc des corps durs, l’action n’est censée durer que jusqu’à; ce que les corps aient acquis des vitesses en vertu desquelles ils ne se nuisent plus, et qui, par conséquent, ne produisent point d'action entre eux. Ainsi l'effet de ces vitesses sur l’action mutuelle des corps étant nul, si ou leur imprimait ces mêmes vitesses avant ou pendant l’action, elle serait la même en vertu des vitesses composées de celles-ci et des vitesses propres des corps. Donc elle serait encore la même, si les vitesses imprimées étaient égales et directement contraires à celles dont nous parlons, car l’action ne varierait pas, en supposant que l’on détruisît ces vitesses imprimées par des vitesses opposées.

Il s’ensuit de là que, dans le choc des corps durs, les vitesses a, c, etc., .après le choc, sont telles, que l’équation

MU* -+- NV 3 -j- ... - Ma* — Ne’— .. .= aF(a, b, c. . .) — aF(«, j9, y . . .)

subsisterait également en composant les vitesses U, V, etc., a, v, etc., avec les vitesses — a, — c, etc., le second membre de cette équation demeurant le même, parce qu’il ne dépend que de la position mutuelle des corps, avant et après le choc.

Si donc on nomme A la vitesse composée de U et de — «, B la vitesse composée de V et de — y, etc., l’équation deviendra

MA 5 NB* -t- ... = aF (a, b, c...) — aF (a, j 3, >...),

puisque les vitesses composées a — u, v — e, etc. , sont nulles,

On aura donc, pour le choc des corps dors, cette équation

MU* — NV* — Ma’ — Ne’ — ... = MA’-f- NB’ + ....

Comme U, V,'etc., sont les vitesses avant le choc, et a, c, etc., les vitesses après le choc, il est clair que A, B, etc., seront les vitesses perdues par le choc; par conséquent, MA’ 7 +- NB* -K... sera la force vive qui résulterait de ces vitesses : d’où l’on tire cette conclusion, que dans le choc des corps durs, il se fait une perte de forces' vives égale à la force vive que les memes corps auraient s’ils étaient animés chacun de la vitesse qu'il perd dans le choc. Ce théorème