CHAPITRE QUATRIÈME

Digression sur la. manière de déduire les séries qui expriment les exponentielles, les logarithmes, les sinus, cosinus, et les ares, de simples considérations algébriques.

18. Les séries qui représentent les quantités exponentielles et logarithmiques, ainsi que les sinus et les cosinus, ont été trouvées d’abord par te calcul différentiel. Halley est, je crois, le premier qui ait imaginé de déduire celles de» exponentielles et des logarithmes de la formule de Newton pour les puissances du binôme (Transactions philosophiques, n° 21 fi), en employant ia considération de l’infini on de l’ infiniment petit. Cette méthode a été suivie par Euler, et étendue aux sinus et cosinus, dans les chapitres VII et VIII du premier tome de son Introduçtio in Analysis, etc. Mais quoiqu’elle puisse être admise en analyse, on ne saurait disconvenir qu’elle n’a pas l’évidence, ni même la rigueur qu’on doit désirer dans les éléments d'une science, et nous croyons qu’on nous saura gré de nous écarter ici un moment «Je notre marche, pour donner une démonstration des mêmes formules, fondée aussi uniquement sur celle du binôme, mais dégagée de toute considération de l’infini. Nous donnerons même à ces formules une

généralisation qui servira à rendre les séries aussi convergentes que l’on voudra dans tous les cas.

Considérons l'équation générale y — a*, dans laquelle x est le logarithme de y pour la base a ; mettons à la place de a, i -+- a — i , ce qui est la même chose, et ensuite à la place de (i -t -a — i) x ,

f(i -+- a — i )" J ", ce qui est encore la même chose que n x ; on aura

y = [(l+fl-l)’] : ,

Ha THEORIE DES FONCTIONS.

/? étant une quantité quelconque qui disparaît d’elle-mème dans la valeur de y. « -

Je développe maintenant le binôme { i -H a — i )" dans la série

if* '* ‘

et j'ordonne les termes suivant les puissances de n; j’aurai

, 3 # > ' » — 1 )" = 1 -+- An BnV-4- . . - ,

les coefficients A , B, etc. . étant donnés en a; et il est aisé de voir que l’on aura d:abord •» *•*£ . ;%». ... *'.•<,

cette quantité A étant la inertie que celle du n” 11. A l’égatd des autres coefficients, nous n’aurons pas besoin de les chercher, puisqu’ils disparaîtront du calcul, comme on va le soir.

Faisant cette substitution, nous aurons • , . .,

■•f.-y — ( r-f- An -+- Bn* -t-...)*. ,

et, développant à la manière du binôme, il viendra < *

* ifc» N'

.Y =f 1 '+* (An + B ”’ -•* • ••') «4- (An -H B«» -t-, . .)’

savoir, en effaçant les puissances de n communes aux numérateurs et aux dénominateurs, ^ ‘ »-U

j j= y -h x ( A h- Bn -+- « .) -+- • r ( J ~ n i

-+- Un -h ...)’

Maintenant, comme la quantité n est arbitraire et doit, par la nature même de la fonction /, disparaître de l’expression de cette