Dans l’équation (n

Mtta'-j-’Nw' •+■ ... = P/»' H- Qry' -4-

les quantités p, q, etc., désignent les. distances rectilignes (les points où les forces P, Q, etc. , sont appliquées, aux centres de ces .forces ; ainsi tes quantités p ' , </', etc., expriment les vitesses de ces points suivant les directions de ces mêmes forces, et comme les quantités p, q , etc. , n’entrent.point dans l’équation, il s’ensuit qu’elle a toujours lieu, quelles que soient les forces P, Q, etc., soit qu’elles tendent à des' points donnés ou non, pourvu que l’on prenne pour p\ q', etc., les vitesses respectives des points où ces fortes sont appliquées suivant les

directions mêmes des forces.

Si les forces P, Q étaient en équilibre, la quantité P//-!- Qq' - 1- ... serait nulle par le principe des vitesses virtuelles (n°30) : ainsi l’équation précédente montre ce que cette quantité devient lorsque les forces produisent du - mouvement ; on voit qu’eUe est alors égale à la fonction prime de la- moitié de la force vive de tous les corps du système, quelles que. soient d’ailleurs la position et la liaison mutuelle de ceS corps. . . V, * ’ v , ; f

Donc si,, dans un instant quelconque, les forces qui agissent sur le système viennent à se eontre-balancer, la fonction prime de la force vive sera alors nùlle, et, par conséquent, la force vive sera un maximum ou un mjnùnum (n° 26, deuxième partie). En général, de toutes les situations que If système peuf prendre, celle où il serait en équilibre est aussi celle où sa force vive serait un maximum ou un minimum s’il était en mouvement; et il est démontré que l'équilibre sera stable lorsque la fqrce “vive sera un maximum, et qu’il ne le sera pas, lorsque la force vive sera un minimuYn. "Mais la démonstration de cette propriété singulière de l'équilibre ne peut pas être insérée ici ; on peut la voir dans la Afécanîque analytique.

3 ' éd

46 . Puisque les quantités p' , etc. , n'expriment que les vitesses des points oit sont appliquées les forces P, Q , ete. , estimées suivant la direction de ces forces, on peut prendre pour p', y', etc., les espaces simultanés -parcourus par ces points, suivant ces directions. Ainsi P p' sera la fonction prime de l’aire de la courbe dont l’alwcisse serait égale à p et l’ordonnée rectangle serait P, et de même Qq' sera In fonction prime de l’aire de la courbe dont l’abscisse serait y et l’ordonrtée Q ; et ainsi des autres ( n° 28, deuxième partie ). I>onc, si l’on désigne respectivement ces aires par (P), (Q), etc. t et que l’on prenne les fonctions primitives des deux membres de l’équation du numéro précédent, on aura, en multipliant par a et nommant U, V les vitesses de M, N, etc., lorsque les aires (P), (Q), etc., sont supposées commencer,

Mrs* - 4 - Ne’-l- ... — MD’ — NV* — ... = a (P), 4- a (Q)’-h ...:

Cette équation est la même que celle du n D 42 , qui renferme le principe de la conservation des forces vives ; mais elle est représentée ici d’une manière indépendante des fonctions que peuvent représenter les forces P, Q, etc.

Si l’on suppose que ces forces agissent chacune séparément sur des corps libres dont les masses soient m, n, etc., on aura, par les équations fondamentales du n° 13,

nip" = P, «y* — Q, etc.;

donc, multipliant respectivement par a//, ay', etc., et prenant les fonctions primitives, on aura

mp' 1 = rf M- a ( P), «y' a = b a (£),

et ainsi des autres, a et b étant des constantes arbitraires. Donc, si l’on suppose, pour plus de simplicité, que les vitesses p', y', etc., soient milles, lorsque les aires (P), (Q), etc., commencent, on aura *

a. — p, . b — o, etc., %

e|, par conséquent,

ntp' 7 = a (P), ^ry' , = a(Q),’ etc.,