THEORIE DES FONCTIONS. — ADDITION A I.A PREMIERE PARTIE

Supposons que la différence d.r devienne infiniment petite, les puissances d.x', dx', etc., deviendront infiniment petites, chacune pair-apport à «relie qui précède, et les séries qui expriment les valeurs îles différences dy , d'y, d'y, etc., se trouveront composées de termes infiniment petits, chacun relativement au précédent, de sorte' qu’en négligeant les infiniment petits d’un ordre supérieur relativement à ceux d’un .ordre inférieur, on aurà simplement *

dy =ÿdx.

d'y = y"dx',

,/V= /V.r*, etc.,

et, par conséquent,

t dy

~ dx' ’

y etc

On voit par là comment la supposition des infiniment petits peut servir à trouver les foncions déniée»; et l’on peut en conclure que

les expressions diftérentielles , etc. , au lieu d’exprimer ce

qu elles paraissent Représenter, ne sont, à la rigueur, que des symboles qui dénotent des fonctions “différentes de la fonction primitive r, mais dérivées de celle-ci suivant certaines lois. [Voyez, dans la nouvelle éditfon dçs Leçons sur le. Calcul des fonctions , la leçon dix-hnitiàme, qui contient des remarques importantes sur le passage du fini à l’infinimeut jietit. )

Note de M. J. -A. SERKET.

!. I.a théorie remarquable, exposée dans les chapitres 111 et IV de la deuxième partie, fait connaître l'intégrale première et la,solutaon singulière d'une classe assez étendue d’équations différentielles: il s’agit des équations auxquelles conduisent les problèmes inverses sur le contact des courbes, et dans lesquelles n’entrent que les éléments mêmes du contact. Le succès de la méthode est dû à cette seule circonstance, que les éléments du contact sont des fonctions de x, v, et des dérivées de y, qui étant égalées à des constantes arbitraires fournissent autant d’intégrales premières d’une même équation différentielle ; aussi peut-on donner up peu plus de généralité au théorème de Lagrange. . '

Désignons par a et |3 deux constantes arbitrâmes, et supposons que les équations

soient deux intégrales premières d’une même équation diflërentielUde l'ordre m H- i ,

ÿ , j'j'etc. , étant mis au lieu de etc.

3ga -NOTB.

Si l'on élimine/* entre le» deux équations. ( 1 ), on obtiendra une équation différentielle de l’ordre ni — i,

Cela posé, l’équation (3), qui est une intégrale seconde de l’équation (a), et une intégrale première de l’une quelconque des équations (i), sera également une intégrale première de l’équation

F «p, -il = o,

où F désigne une fonction quelconque, pourvu que l'on considère les deux constantes ce et ,3 comme assujetties à vérifier l’équation

Ce tliÇorème est presque évident, car les valeurs de a et ,3, que fou > tirerait de l’équation (3) et de sa dérivée, seraient a = <p, fi = -fL; et comme l’équation (5) a lieu entre les constantes « et fi, il s'ensuit que l’équation (4) sc trouvera aussi vérifiée. Si les fonctions <p et 4 ne renfermaieuf que x, y, et /', l’équation (3) ne contiendrait plus île dérivées, et serait, par suite, l’intégrale générale de l’équation proposée" Il résulte de là que, si parmi tes différentes manières, ep nombre infini, d’écrir® une équation différentielle, on en distingue une qui permette de lui donner la forme de l’équation (4), on aura, par cela seul, intégré une première fois cette équation.

II. Proposons-nous comme application de chercher l’équation intégrale des lignes de courbure d’une surface du second ordre à centre. I/’ équation de la surfàce,étant

l 'équation différentielle des projections des lignes de courbure" sur le plan xy sera. * ,

•c’/ , xy\ c‘—b‘ ~

pv'-rr^vt r

ayy

NOTE

si maintenant l’on pose

P (*’ - 7 ) = *> Y - x .yy') = ^

ces équations seront les intégrales premières de la même équation

^yy” — yy' + Y 1 =

on pourra donc appliquer le théorème à l’équation (a). Si l'on élimine y' entre celles-ci, on aura

avec

nous ferons « = /*’, fi = u* — A*, et l’équation des projections des lignes de courbure sera finalement

W pV •’

u’ étant la constante arbitraire: elle représente, comme on sait, des ellipses ou des hyperboles. Comme l'équation (3) est symétrique entre p et pc, si l’on considère p comme un paramètre variable, et /u comme déterminé, l’équation (3) représentera également les projections des lignes de courbure de la surface

et si p et /u ont en même temps des valeurs déterminées, l'équation (3) représentera la projection d’une ligne de courbure commune aux surfaces ( 1 ) et (4), laquelle sera donc l’intersection de ces deux surfaces.

Si dam l'équation ( 1 ) on a H devra* être compris entre

b et c, ou inférieur à ces deux quantités, car autrement les deux surfaces ne se couperaient pas. On conclut de là que lçs trois équations

3 * td.

NOTE

dans lesquelles b et c > è sont des constantes déterminées, p, /u., v trois paramètres variables compris, le premier entre c et oc, le second entre b et c, et le troisième entre o et b, représentent trois systèmes de surfaces telles, que l’une quelconque des surfaces de l'un de ces systèmes sera coupée, suivant ses lignes de courbure, par toutes les surfaces des 'deux autres systèmes. Il en résulte que les surfaces (5) sont orthogonales entre elles.

C’est au même principe que l’on doit rattacher l’intégration de l’équation si connue

car, si l’on fait

à cause que les deux équations qui précèdent sont les deux intégrales premières de l’équation

l’équation

qui résulte de l’élimination de y', sera l’intégrale générale de la proposée, pourvu que les constantes a et fi soient unies par la relation

et l’on obtient finalement

. y = ax -+■ F (*),

où a désigne la constante arbitraire. Au surplus, dans la question actuelle, les fonctions y' et y — y'. r, entre lesquelles a lieu l’équation proposée, ne sont autres que les éléments du contact du premier ordre.

III. Les équations différentielles dont il vient d’être question, et dont on détermine si aisément une intégrale première, admettent, en général, des solutions singulières, ainsi que Lagrange l’a remarqué : la théorie de ces solutions singulières peut être présentée très-simplement à l’aide de considérations géométriques, identiques à celles

note.

que l'on emploie dans 4 recherche des développantes des courbes planes.

Lorsqu’on donne l’équation d'une courbe en coordonnées rectangulaires jc et y, on obtient, comme on sait, l’équation de la développée en éliminant ,r et y à l’aide de la proposée et des deux suivantes

l±zl =

fi’

dans lesquelles a et jS représentent les coordonnées du centre de courbure.

Mais si, au contraire, l’on donne l’équation

de la développée, et que l’on élimine « et ^ entre les équations (i) et (a), on obtiendra l’équation différentielle du second ordre

que la théorie présente immédiatement connue devant faire connaître les développantes de la courbe représentée par l’équation (a). Mais cette équation est du second ordre, et son intégrale complète doit renfermer deux constantes arbitraires, tandis qu’il n’en peut entrer qu’une seule dans l’équation des développantes, d'où résulte ce paradoxe d’analyse signalé par Lagrange, et qu'il est bien aisé d’éclaircir. D’abord l'équation (3) est du genre de celles dont nous avons parlé précédemment, et son intégrale première s'obtiendra en éliminant/" des équations (i); ce qui donne

(4) (* — «) -hÿ- (y — /3) = o,

dans laquelle a et j3 doivent être considérées connue deux constantes liées par la relation

F («> fi) = o;

So.

-fgfi NOTE.

y désignant une constante arbitraire, l’intégrale de l’équation (4) sera

cette équation, qui renferme deux constantes arbitraires, est l’intégrale générale de l’équation (3) : elle représente un cercle de rayon arbitraire, et dont le centre est en un point quelconque de la courbe donnée que représente l’équation (a). Le cercle satisfait effectivement à la question de géométrie, puisque, pour chacun de ses points, le centre de courbure est bien situé sur la courbe donnée. Il résulte donc de là, que l’équation dés développantes de la courbe proposée est nécessairement une solution singulière de l’équation différentielle (3). La plupart des Traités d’analyse ne font aucune mention de l'équation (3), comme devant faire connaître l’équation des développantes, et l’on se contente habituellement de montrer, à l’aide de considérations particulières, que celle-crest l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre, laquelle résulté de l’élimination de a et |S entre les trois équations

fia dx

C’est, au surplus, le résultat auquel on est immédiatement conduit, en considérant les développantes d’une courbe comme les trajectoires orthogonales de ses tangentes.

IV. Nous allons montrer maintenant quelle extension on peut donner aux considérations particulières que l'on emploie dans la théorie des développantes.

Nous savons que si les équations

w • U =is,

sont deux intégrales premières d'une même équation différentielle, et que

NOTE

en résulte par l’élimination de y m , cette dernière équation sera nue intégrale première de l’équation

pourvu que l’on considère a et comme des constantes vérifiant l’équation

en sorte que l’on obtiendra l’intégrale générale de l’équation (3), en cherchant celle de l’équation ( 2 ), dont l’ordre est inférieur d’une unité.

Considérons a et jS comme des coordonnées rectangulaires, de même que x et y, puis imaginons que l'onsflit tracé la courbe représentée par l’équation (4), en même temps que celles qui sont représentées par l’intégrale générale de l’équation (3); chacune de ces dernières dépendra, en partie, de Ja position d’un point de la première courbe, de celui qui répond aux valeurs de a et fi relatives à la courbe que l’on considère: pour abréger le discours, j’appellerai ce point point directeur, et courbe directrice l’ensemble des points directeurs, c’est-à-dire la courbe représentée par l’équation (4).

Pour tous les points d’une même courbe de l’intégrale générale (3), le point directeur est le même, et jouit, par rapport à chacun d’eux, d'une propriété commune définie analytiquement parles équations ( 1 ) ; d’oii il suit clairement que les courbes susceptibles de satisfaire à l'équation (3), et qui ne font pas partie de l’intégrale générale, jouissent de cette propriété remarquable, que le point directeur n’est pas le même pour tous les points d’une même courl>e, et que la propriété définie analytiquement par les équations ( 1 ) a lieu entre les différents points d’une même courbe et leurs correspondants sur la courbe directrice.

Pour chacune de ces nouvelles courbes qui constituent une solution singulière de l’équation (3), l’équation ( 2 ) aura encore lieu entre les coordonnées x, y de l’un de ses points, et celles a et fi du point directeur correspondant; mais si l’on fait varier x et y, a et fi varie-

NOTK.

ront aussi: on aura donc, en diflférentiant l’équation (a),

clj

Mais si l'on observe que l'équation (a), dans laquelle on regarde a et j3 comme constantes, est une intégrale première de l’une quelconque des équations (i), on verra que le coefficient de dx dans l’équation précédente devient nul en vertu de ces mêmes équations ( 1 ) : on aura donc simplement

on a d’ailleurs

donc

d F Ta

dot -+-

,U df> 3F — rfF *

équation qui établit une relation entre chaque point de la courbe singulière et le point directeur correspondant.

Si des équations (4) et (5) on tire les valeurs de a et [i pour les porter dans l’équation (a); ou, ce qui revient au même, si l'on élimine « et ft à l’aide des équations (a), (4) et (5), on obtiendra une équation différentielle de l’ofdre rn — 1 ,

II — o

sans constante arbitraire, et qui sera une solution singulière de l'équation (3).

Bornons-nous à indiquer une seule application des résultats qui précèdent.

On demande quelle est la courbe jouissant de la propriété, que si M est un de ses points, C le centre de courbure en ce point, et M ' la position du point M auquel on fait faire un quart de révolution autour d’un point fixe, l’on ait GM' = une constante K.

NOTE

L'équation différentielle du second ordre est

on trouve pour intégrale première

(. r — «)— ( r — ft) dy

«* + jS*= — * ' a.

et pour solution singulière,

l’intégrale générale représente ici des spirales logarithmiques, la solution singulière des courbes beaucoup plus compliquées.