PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE QUATRIEME

fonction, il faudra que tous les termes multipliés par chaque puissance de n se détruisent mutuellement. Ne tenant donc aucun compte de ces termes qui doivent disparaître d’eux-mêmes, quel que soit «, on aura simplement

Y = a 1 — 1 +ïAh 1 z — f— . . . ,

comme plus haut (n° 11 ).

19. Cherchons de la même manière la valeur de x en y. Pour cela , nous mettrons l'équation a x = y sous la forme

qui est identique avec la précédente, et où n est encore une quantité quelconque à volonté, qui ne doit point entrer dans la valeur de x en r.

Développant les deux membres à la manière du binôme, on aura

, nx(nx — i) ,

i -hnx(a — i)h i (a — i ) 1

nx( nx— i) (nj— a) ,

ja.3. ' '

savoir, en effaçant l’unité de part et d’autre, et divisant par « ,

, gfrur—'Q , ^ i) («x — a ) . |

Or, n étant, comme nous l’avons déjà dit, une quantité entièrement arbitraire et qui ne dqit pas entrer dans l’expression de x en r, il faudra que les termes multipliés par les différentes puissances de n se détruisent d’eux-mêmes, en sorte qu’il ne reste qUe ceux où n n’entrera pas. On aura ainsi, en ne tenant compte que des termes sans n, l’équation suivante, dans laquelle j’emploie, pour abréger, la quantité A déterminée ci-dessus,

xa=(j— t) —{V

3* éd.

<1 où l'on tire

THÉORIE DES PONCTIOVS.

.r = logj = Cr-.)-K.r-y+iO-O t — -,

formule connue, et qui s’accorde avec celle du n“ 13, A étant égal à lu.

Î20. Mais cette formule n’est convergente que lorsque le nombre )', dont elle donne le logarithme, est peu différent de l'unité; aussi n'est-elle d’aucune utilité pour le calcul des logarithmes ordinaires. Voici un moyen de la rendre convergente pour tous les nombres.

Il est évident que l’équation fondamentale r = a 1 peut se changer en celle-cr, y m = n "' x , m étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire. Kmployant donc cette dernière formule à la place «le l’autre, il n’y aura qu’à changer dans celle-ci y en y m et .v en nt.r. On aura ainsi, en général,

0— ;(y— O’-HC.r'"— -I)*— -v

où l’on pourra prendre pour m une fraction - , telle que \/y soit

toujours un nombre aussi peu différent de l'unité que l'on voudra.

Supposons, ce qui est toujours possible, que la racine r de y ne contienne que l’unité avant la virgule, et qu'après la virgule, il y ait v zéros; alors, si l’on s’arrête à a s décimales, il est visible que le terme ( r" — i )*, et, à phis forte raison, les termes suivants, ne donneront rien; de sorte que l’on aura simplement, dans 6e cas,

r" — i Jy — I

lo g- y =^ =rî 4—

De la même manière, on aura aussi, sous les mêmes conditions, A = la = r(y/« — i),

et, par conséquent.

log.r = V— ■

yo— i