PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE QUATRIÈME. ’fy

les differentes puissances de n se détruisent d’eux-mêmes; ce qui la réduira d’abord à \x y/ — 1 = P ; savoir, en développant les puissances de tang ,ry — i ,

A# y/ — i = (tang x — j tang.r* -f- j tang .r‘ — . . .) y/ — i -t- { tang x* — j tang .r* •+• ~ tang .r* — ...

— | sin x 1 — i sin r* — r j sin.r* — —

Comme on peut prendre le radical y/ — i en plus ou en moins, il est visible qu'en le prenant successivement en plus et en moins, et soustrayant les deux équations l’une de l'autre, on aura, après avoir

divisé par 2 Ay — i ,

Ung -r— (ungx J -+- ; tanga:' — ....

Au reste, il est visible que l’équation trouvée au n° 21 , eos.r-4- sin# y/— 1 = i -t- A#y — i - 4 - ‘-(A.ry/ — i)

se réduit directement à celle-ci,

cos # -r- sin x \ — i = n* v ~ ,

par la formule du n“ 1 1 , en prenant pour a une quantité dépendante de A, comme nous l’avons déterminée dans ce même endroit, c’està-dire, en sorte que a = e K , e étant un nombre donné qui est la base des logarithmes hyperboliques.

De cette formule on tire tout de suite, en prenant le radical en plus et ensuite en moins, les expressions connues de sin.r, cos.r, en exponentielles imaginaires,

a z<T--ï — a — aX yzr ) a xvCr.

sin x — 7=- » cos x — »

jo THÉORIE DES FONCTIONS.

et, passant des exponentielles aux logarithmes.

rlrt ^ — i =l(cos.r-+-sinxy^ — i) = lcoso'-4-l(i-t-tang.ry^ — i),

ou bien, en prenant successivement le radical en plus et en moins, et soustrayant une équation de l'autre,

^ i i | 1-4-iang xy'— i

1“ — i i — tang x y — i ’

d’où l’on peut déduire les séries trouvées ci-dessus, en employant les développements des exponentielles et des logarithmes exposés dans les n°* 18 et 19.

Mais il y a ici une remarque importante à faire ; c’est que dans les formules que nous venons de trouver, la quantité A, ainsi que a, étant arbitraire, le système de logarithmes peut être pris à volonté, au lieu que

dans les formules ordinaires relatives aux arcs de cercle, de module -~

est égal à l’unité, ce qui donne pour la base le nombre e, dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Ainsi, celles-ci né sont qu’un cas particulier de celles que nous avons trouvées, mais cette particularisation est nécessaire pour qu’elles soient applicables au cercle, comme nous lallons démontrer.

23. T ont se réduit à prouver que, dans l’expression de sin x en série, le premier terme doit être simplement x, au lieu que nous l’avons supposé, en généra), A.r (n° 2 1 ). En employant la considération des infiniment petits, cela est évident; car on voit que dans le cercle, le sinus, à mesure qu’il diminue, s’approche dè plus en plus de l'arc, jusqu’à s’y confondre dans l’infiniment petit. Ainsi, en supposant l’arc x infiniment petit, on a sin x=*x; par conséquent , A — I .

Mais, comme nous avons cherché à rendre notre analyse indépendante de la considération des infiniment petits, nous devons aussi en affranchir la démonstration du point dont il s’agit.

Pour cela, nous ne supposerons que le principe établi par Archimède, que le sinus, qui est la moitié de la corde de l’arc double, est