CHAPITRE CINQUIÈME

Du développement des fonctions , lorsque l'on donne à la variable une valeur déterminée. Cas dans lesquels la règle générale est en défaut. Des valeurs des fractions dont le numérateur et le déno- ‘ minuteur s' évanouissent en même temps. Des cas singuliers où le développement de la fonction ne procède pas suivant les puissances positives et entières île V accroissement de la variable.

24. Les méthodes que nous venons de donner pour le développement de la fonction l'jVr -f- t) supposent que ce développement est de la forme

il est donc nécessaire, avant d’aller plus loin, d’examiner quand et

comment cette forme pourrait être en défaut. .

Nous avons déjà démontré plus haut ( n"' 2) que cela ne peut arriver que lorsque l’on donnera à a: une valeur déterminée, telle qu elle fasse disparaitre dans la fonction f.c et (Luis toutes ses dérivées, quelques radicaux. Or un radical ne peut disparaitre dans une fonction que de deux manières, ou parce que la quantité qui multiplie le radical devient nulle, ou parce que le radical lui-mèine devient nul.

Dans le premier cas, il est clair que, le radical disparaissant dans £c„ il pourra ne pas disparaitre dans f’.r, f".r, etc., ou bien que, disparaissant à la fois dans t’r, f'.r, il ne disparaîtra pas dan» f".r, f w x, etc., et ainsi du reste, parce que le radical acquérant des coellicients diflfé-

rents dans les fonctions dérivées, ces coefficients ne peuvent pas devenir tous nuis par la même valeur supposée de la variable.

Dans le second cas, au contraire, il est évident que le radical disparaîtra nécessairement dans toutes les fonctions £r, fa', f".r, etc., à l’infini, puisque c’est la quantité radicale elle-même qui est supposée s’évanouir pour une valeur donnée de la variable x. Mais l’évanouissement du radical ne pouvant plus avoir lieu dans la fonction f (x 4-i) ,

où i est une quantité indéterminée et indépendante de x, il s'ensuit

que la série fr -+- iî'x H — f.v qui représente le développe-

ment de cette fonction, deviendra fautive par l'absence du radical qu’elle doit contenir.

Donc cette série sera légitime dans le premier eas, et ne le sera pas dans le second .

25. Soit y = £*' » et P ai ' conséquent, en prenant' les fonctions prime, seconde, etc. , y' = f'.r, y" — f".i-, etc. Supposons que, pour une valeur donnée de .r, il disparaisse dans fa - un radical, lequel ne disparaisse pas dans f'.r; il est clair que, pour cette valeur de x, la fonction f'.r devra avoir un plus grand nombre de valeurs différentes que la fonction fr, si raison du radical qui se trouve dans f'.r et qui a disparu dans fr; d’où il s’ensuit que la valeur de y' ne pourra pas être donnée par une fonction dé x et j qui ne contiendrait pas ce- radical. Cependant, si dans l’équation y — fr on détruit qe même radical par l’élévation aux puissances, et que l’équation résultante soit représentée par F (x, y) = o, son équation prime donnera généralement, comme nous l’avons vu au n° 17 ,

Donc cette expression sera en défaut-dans le cas où l’on donnerait à x la valeur en question, ce qni ne peut avoir lieu qu’autant que les quantités F'(ar) et F '(.y) seront l’une et l’autre milles à la fois. Ainsi, dans le cas dont il . s'agit, l’expression de y' deviendra égale à zéro divisé par zéro; -et réciproquement, lorsque cela arrivera, ce sera une