première partie. — chapitre cinquième

la supposition de x = a (ait disparaître le terme /'Fx, et le reste de l'équation donne

r ~Vx'

S’il arrivait que les fonctions primes F x, F'x devinssent aussi nulles par la meme supposition, alors on trouverait par le même principe, en substituant dans l’équation ci-dessus f'x, F'x pour fx, Fx, cette nouvelle.expression de y.

et ainsi de suite. On pourrait aussi la déduire directement de la même équation prime, en considérant que, comme elle se vérifie de nouveau d’elle-même, elle ne peut pas servir non plus à la détermination de r; que, par conséquent, il sera nécessaire de passer à réquation seconde, laquelle sera

y" Fx ar'F'x -4- jF'x = F'x.

Comme la supposition de x = a rend nulles les fonctions Fx et F'x, les termes qui contiennent y' et y" s’en iront d’eux-mêmes, et les

termes restants donneront y — comme plus haut.

II n’est pas à craindre que les fonctions fx, f'x, F'x, etc., Fx, F'x, F"x, etc., à l’infini, puissent devenir nulles en même temps par la supposition de x = a, comme quelques géomètres paraissent

le supposer ; car, puisque f (x -h i) — fx if JC -+- Fx, etc. , en faisant x = a, on aurait

f (fl -+- i) = o,

quel que soit », ce qui est impossible; il en serait de même de F (x -t- t‘). Mais il peut arriver que ces (onctions deviennent infinies par la même supposition de x = a, ce qui rendra également les

fractions pp, p-, etc., indéterminées: la solution de cette difficulté 3' «w. .7

>0 TH KO lll K l)KS FONCTIONS.

dépend de l’examen du second cas du n° 24 , dont nous allons nous occuper.

29 . Ce cas a lieu lorsque la supposition de x = a fait disparaître Hans fr un radical en le rendant nul, auquel cas elle le fera disparaître de même dans les fonctions dérivées ; mais ce radical restant dans la fonction f (x -+-*), il doit rester aussi dans le développement de cette fonction; par conséquent, ne pouvant ^tfnjcter la valeur de x , il faudra qu’il affecte I’/; d’où il suit qfté ce développement doit contenir nécessairement des puissant fractionnaires

rie i. Il est clair, en effet, que si fx confient la quantité y^X, X étant une fonction de x qui devient nulle lorsque ,r = a, en mettant x -4- / à la place de x, X deviendra

et faisant x = a, on aura simplement iX' -4- — X" -4- ... pour la valeur de X ; de sorte que yX deviendra

donc la fonction f (r t) contiendra, dans le cas de x — a, le radical

V*, qui devra, par conséquent, Se trouver dans son développement suivant les puissances de i. Voyons donc ce que donnera alors le

développement fautif fr -(- i f 'x -f- — ("x -4-

Pour cela, j’observe que les fonctions T (x -4- t), f" (x -4- i), etc., sont également les fonctions primes, secondes , etc. , de la fonction f(x -l- i), soit qu’on les prenne relativement à -x, soit qu’on les prenne relativement à t, ce qui est évident, puisqu’en augmentant soit x, soit i d’ une même quantité quelconque, on a le même accroissement de la quantité x i. D’où il suit que l’on aura également les valeurs de T.r, f".r, etc., quel que soit x, en prenant les fonc-